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27000의 인수의 합 (Sum of factors of 27000)
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27000과 같이 큰 수의 인수들을 구하여 그 합을 구하는 방법을 알아봅니다.
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27,000의 모든 양수 나눗수의 합을 구하시오. 제가 생각할 수 있는 이 문제를 푸는 가장 쉬운 방법은 처음에는 27,000의 소인수 분해를 하는 것입니다. 그리고 그것이 일종의 우리의 생각을 조직하는 데 도움을 줄 것입니다. 27,000의 다른 모든 나눗수가 어떻게 생겼는지에 관한 생각을요. 그러니까 27,000은 27 곱하기 1,000과 같은 것입니다. 그리고 이것은 3의 3승 곱하기 10의 3승과 같습니다. 그리고 10은 물론 2 곱하기 5과 같은 것입니다. 그러니까 이것은 2 곱하기 5의 3승과 같습니다. 혹은 2의 세 제곱 곱하기 5의 세 제곱과 같습니다. 그러니까 27,000은 2의 세 제곱 곱하기 3의 세 제곱 곱하기 5의 세 제곱 입니다. 그러니까 27,000의 어떤 나눗수든 간에 곱으로 만들어질 것입니다. 3개의 2, 3개의 3, 그리고 3개의 5의 곱으로요. 그러니까 조합을 시도하고 살펴 보도록 합시다. 그리고 이 문제를 푸는 가장 빠른 방법을 생각해 봅시다. 나눗수에 5가 하나도 없는 경우를 생각해 봅시다. 그러니까 만약 5를 가지지 않았다면 이것은 2를 3개 까지 가질 수 있습니다. 그러니까 만약 이것이 2를 0개 가졌다면, 그러니까 저는 2의 몇 승을 취할 것입니다. 그러니까 2개 0개 있다고 해 봅시다. 그러면 저는 여기에 1을 둘 것입니다. 만약 두 개의 2를 가졌다고 하면 이것은 반드시 4로 나뉠 수 있어야만 합니다. 그리고 만약 이것이 3개의 2를 가지고 있다면 이것은 8로 나뉠 수 있어야만 합니다. 제가 세 개의 2라고 말할 때는 2 x 2 x 2 를 의미 합니다. 자, 이제 3으로 같은 것을 해 봅시다. 오, 잠깐만요. 제가 1승을 까먹었네요. 만약 2가 0개 라면 그 말은 이것은 단지 1로 나눌 수 있다는 의미 입니다. 우리가 2를 살펴 보면 말입니다. 만약 2가 한 개 있다면 이것은 단지 2로 나눌 수 있어야 합니다. 만약 여러분이 두 개의 2를 가지고 있다면 4로 나뉠 수 있어야 합니다. 그리고 만약 세 개의 2가 있다면 그리고 제가 이것에 의해서 라고 말하는 것은 2 x 2 x 2 를 의미 합니다. 이것은 8로 나눌 수 있습니다. 3으로 같은 것을 해 봅시다. 3이라는 관점에서 보면 만약 여러분이 3을 하나도 가지고 있지 않다면, 그 말은 즉 적어도 여러분은 1로 나눌 수 있다는 말입니다. 만약 하나의 3을 가지고 있다면 그 말은 즉 여러분은 3으로 나눌 수 있다는 말입니다. 두 개의 3, 혹은 3 곱하기 3은 여러분이 9로 나눌 수 있다는 말입니다. 만약 여러분이 세 개의 3을 가지고 있다면 그 말은 즉 여러분이 27로 나눌 수 있다는 것입니다. 그러니까 가능한 조합을 살펴 보도록 합시다. 제가 바로 여기에 만들 격자 무늬 위에서 말이지요. 우리는 여러분이 5로 나눌 수 없다는 것을 가정했습니다. 혹은 여러분은 오직 5의 0승으로만 나눌 수 있습니다. 그러니까 여기에 가능한 모든 숫자는 무엇 입니까? 여러분은 1 x 1 = 1, 1 x 3 = 3, 1 x 9 = 9, 1 x 27 = 27을 가지고 있습니다. 그러니까 이 모든 숫자는 그 안에 세 개의 3까지 가지고 있습니다. 그 안에 0부터 세 개의 3까지 있습니다. 그리고 그 안에 2는 없습니다. 만약 여러분이 여기에 또 다른 2가 있다면 여러분은 근본적으로 이 모든 숫자를 2로 곱해야 할 것입니다. 만약 여러분이 여기에 또 다른 2를 가지고 있다면 여러분은 이 모든 숫자에 2를 곱할 것입니다. 자, 이제 제가 그걸 하기 전에 왜냐하면 저는 가능한 한 이것을 빨리 풀고 싶기 때문에 제가 여기의 숫자들이 무엇인지 알아 볼 수 있습니다. 제가 그것을 곱할 수 있습니다. 그러나 그 대신에 그냥 합을 구합시다. 그냥 이 줄의 합을 구합시다. 우리가 방금 구한 첫 번째 줄입니다. 우리는 1 + 3 + 9 + 27 입니다. 3 + 27 = 30 이고 1 + 9 -= 10 입니다. 그러니까 이것은 40이 될 것입니다. 자, 이제 이 숫자가 무엇이든 간에 그것은 단지 2 곱하기 이 숫자들이 될 것입니다. 그러니까 합은 80이 될 것입니다. 그리고 여기의 합은 2 곱하기 앞 줄이 될 것입니다. 왜냐하면 여기에서 우리가 언제나 2를 곱하기 때문입니다. 여기에서 우리가 4를 곱하기 때문입니다. 그러니까 160이 될 것입니다. 그리고 여기에서 우리는 단지 다시 2를 곱합니다. 이것은 320이 될 것입니다. 혹은 이 문제를 생각하는 다른 방법은 여기의 합이 무엇이든 간에 이것은 8 곱하기 첫 번째 줄의 합이 될 것입니다. 그리고 제가.. 단지 그래서 여러분이 제가 뭘 하는지 알 수 있도록 제가 실제로 여기에 숫자들을 넣어 볼 수 있습니다. 이 숫자는 8, 24, 72, 그리고 8 x 27 이 될 것입니다. 자, 이제 160 + 56 = 216 입니다. 그러나 우리는 그렇게 하고 싶지 않습니다. 우리는 단지 합계에 관하여 생각해야 합니다. 만약 여러분이 27,000의 5로 나눌 수 없는 모든 나눗수를 생각해 본다면 그러니까 그것이 오직 5의 0승으로만 나눌 수 있습니다. 제 생각에는 여러분이 이렇게 말할 수 있을 것 같습니다. 우리는 이제 막 그 합을 알아냈습니다. 그것은 이 줄의 모든 합이 될 것입니다. 그러니까 만약 여러분이 40 + 80을 취하면 여러분이 120 + 160 + 320 = 600을 가집니다. 그러니까 이것은 그 상황입니다. 이것은 모든 2들과 3들의 조합의 합입니다. 안에 5를 포함하고 있지 않은 경우에요. 자, 이제 만약 우리가 2와 3의 같은 조합을 고른다면.. 이것의 합은 600 입니다. 이것을 여기에 써 볼게요. 이것의 합은 600 입니다. 그러니까 5가 없는 경우에요. 자, 이제 만약 여러분이 우리가 여기에서 했던 것과 같은 것을 해준다면, 그러나 모든 것에 단지 5를 곱해준다면 그러면 우리가 이 많은 2와 이 많은 3과 하나의 5가 이 합계에 들어 있는 조합을 살펴 보게 될 것입니다. 우리는 이것을 단지 5로 곱할 수 있습니다. 그러니까 우리는 600에 5를 곱합니다. 그러면 30에 0이 두 개 있는 수를 얻을 것입니다. 그러니까 이것은 한 개의 5 입니다. 나눗셈의 소인수 분해에서 말입니다. 한 개의 5 입니다. 자, 이제 제가 만약 두 개의 5를 원한다면 저는 단지 다시 한 번 5를 곱할 수 있습니다. 그러니까 만약 다시 한 번 5를 곱하면 15,000이 됩니다. 이것은 두 개의 5 입니다. 이 문제를 생각하는 다른 방법으로는 만약 제가 여기의 모든 항에 25를 곱한다면, 그 25는 근본적으로 단지 5 곱하기 5인데, 이 합은 600 곱하기 25, 즉 15,000이 될 것입니다. 자, 이제 만약 제가 세 개의 5를 가지고 있다면 저는 단지 이것에 다시 한 번 5를 곱할 수 있습니다. 5 곱하기 15는 74 입니다. 그러니까 75,000이 됩니다. 그러니까 이제 저는 모든 합을 압니다. 만약 제가 5를 가지고 있지 않다면 모든 나눗셈의 합은 600 입니다. 만약 우리가 하나의 5를 가지고 있다면 3,000이 됩니다. 그리고 등등 입니다. 그러니까 만약 제가 모든 수의 합을 원한다면 저는 단지 이 숫자들의 합을 취할 것입니다. 밑으로 화면을 조금 내려 보도록 하겠습니다. 그러니까 0, 0, 그 다음에 백의 자리에는 오직 6밖에 없고요.. 그리고 3 + 5+ 5는 13 입니다. 맞습니까? 네. 이것은 13 입니다. 그러고 나서 하나를 가져 갑니다. 그러고 나면 9가 됩니다. 그러니까 93,600 입니다. 그러니까 27,000의 모든 양수 나눗수의 합은 93,600 입니다. 여러분이 재미를 찾았기를 바랍니다.
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강의자 살만 칸
제공자 칸 아카데미
원본출처 http://www.khanacademy.org/test-prep/competition-math/v/sum-of-factors-of-27000
등록자 쪽지
태그 인수,  수학,  살만칸,  칸아카데미
저작권

강의 댓글 [ 1 ]

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27,000과 같은 큰 수에 있는 모든 나눗스의 합을 구하는 방법을 공부합니다. 미국 수학경시대회의 한 강의 중 하나로 큰 수가 나왔을 때는 소인수 분해로 먼저 인수를 찾고 격자무늬 표를 만들어 합을 구합니다.
[2013/02/04 10:14.35]
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