네. 카메라에 신호가 들어오면 우리는 시작 하도록 할 것입니다. 여러분은 제가 신호를 주기를 원하는 것이죠? 네. 이 것은 선형 대수 여덟 번째 강의입니다. 그리고 이 것은 우리가 완전히 선형 방정식을 푸는 강의입니다. 그래서 Ax는 b와 같다 라는 것이 있습니다. 그 것은 우리의 목표입니다. 만약 그 것이 해가 있다면 말이죠. 그 것은 확실히 그 것에는 해가 없다는 것이 발생 할 수 있습니다. 우리는 소거에 의해 가능성을 확인 해야 하는 것입니다. 그리고 그 다음 만약 우리가 찾고자 하는 해가 있다면 그 것은 오직 하나의 해입니다. 혹은 그 것에 전체 해가 있는 것입니다. 그리고 그 다음 그 것을 모두 찾는 것입니다. 네. 우리가 지난 시간에 열 공간에 대해 찾아 볼 때 제가 가졌던 같은 행렬을 예제로 사용 해도 되나요? 그래서 그 행렬은 열 1 2 2 2, 2 4 6 8을 갖는 것입니다. 그리고 세 번째 열은 말이죠 여러 분은 기억 하십니다. 그 주요 포인트가 세 번째 열 3 6 8 10에 있었다는 것 말입니다. 이 것은 열 일 더하기 열 이의 합입니다. 다른 말로 표현 하자면 만약 제가 이 좌변을 더하게 된다면 저는 세 번째 좌변을 구하게 되는 것입니다. 그래서 여러 분은 제게 곧 바로 소거가 우변에 대해 발견 할 것인 가에 대해 말 해 줄 것입니다. 그 곳에 조건 b1 b2 그리고 b3에 대한 것이 있죠. 해를 가진 이 체계에서 말입니다. 대부분의 경우 만약 제가 이 숫자들이 일 그리고 오 그리고 십칠이 되도록 했다면 그 것은 해가 아닐 것이 되는 것입니다. 사실 만약 제가 첫 번째 숫자를 일 그리고 오가 되도록 했다면 괜찮게 될 유일한 b3는 무엇입니까? 육이죠. 만약 좌변이 말이죠 만약 이 좌변이 그 것과 더한다면 그 다음 B에 대해 저는 b1 더하기 b2는 b3과 같다는 것을 필요로 하게 될 것입니다. 우리 그냥 어떻게 소거가 그 것을 발견 하는 가에 대해 보도록 합시다. 하지만 우리는 그 것이 그렇게 되는 것을 볼 수 있습니다. 네. 제가 다른 말로 그 것을 표현 해 볼 게요. 만약 좌변의 몇 몇 혼합이 모든 0에 대해 주는 것이라면 그 다음 우변에 대한 같은 혼합은 0을 주는 것에 틀림 없게 되는 것입니다. 네. 그래서 제가 그 예를 구하도록 해 보겠습니다. 그리고 더하기 기호를 모두 복사 해서 쓰는 것 대신 쓰도록 할게요. 제가 그 행렬을 쓰도록 할 게요 .1 2 2 2, 2 4 6 8 그리고 세 번째 열이 첫 번째 두 열의 합계인 6 3 8 10 지금 우리는 우변에 대해 어떻게 하는 것인가요? 그 것은 우리는 좌변에 대해 이 열을 우리가 할 것인 우변과 같은 것을 할 것입니다. 그래서 우리는 그냥 우변을 또 다른 백터 로써 고정 하는 것입니다. 또 다른 행입니다. 그래서 이 것은 첨가 행렬입니다. 그 것은 백터 b가 고정 된 행렬 A입니다. Matlab에서 그 것은 모두 여러분이 해야 할 필요가 있는 것입니다. 네. 그래서 우리는 그 것에 대해 소거를 하는 것입니다. 우리가 그냥 빨리 소거 해도 되죠? 그 첫 번째 피벗을 괜찮은 것입니다. 저는 이 것으로부터 이 것 중 2를 뺐습니다. 이 것으로부터 이 것 중 3을 뺐습니다. 그래서 저는 1 2 2 2 b1 갖게 되는 것입니다. 이 것 중 둘은 제게 0 0 2 그리고 4를 줄 것입니다. 저는 그 세 번째 마지막 행에 대해 같은 것을 하게 되는 것입니다. 그리고 그 다음 이 것으로부터 나온 이 것 중 3은 제게 0 0 2 4 b3 마이너스 b1 세 개를 주는 것입니다. 그래서 그 것은 첫 번째 완성 된 행과 함께 소거 된 것입니다. 우리는 이동 하도록 하겠습니다. 그 것은 여전히 첫 번재 피벗입니다. 여기 두 번째 피벗이 있습니다. 우리는 항상 기억 하고 있죠. 지금 이 것은 그 다음 피벗 행이 될 것인 것입니다. 그리고 마지막 결과를 얻도록 하겠습니다. 음 제가 이 것을 지워도 되죠? 우리는 이 열로부터 이 열을 뺄 수 있습니다. 그 것은 완전히 이 것을 할 수 있는 것이고 그리고 제게 0의 열을 주는 것입니다. 그리고 우변에 제가 이 것으로부터 이 것을 뺄 때 제가 무엇을 갖는 것인가요? 제 생각에 저는 b3 마이너스 b2를 갖고 있다고 생각 하는 것입니다. 그리고 저는 마이너스 b1 세 개를 갖고 있었어요. 이 것은 마이너스 b1이 될 것입니다. 네. 그 것은 제가 예상 한 대로 정확히 되었습니다. 그래서 지금 마지막 방정식이 뭐죠? 그 마지막 방정식은 말이죠 이 것은 그 0 행에 의해 표현 되고 있는 것입니다. 그 마지막 방정식은 0은 b3 마이너스 b2 마이너스 b1과 같다 라는 것을 말 해 주는 것입니다. 그래서 그 것은 풀 수 있는 것에 대한 조건입니다. 그 것은 우리가 예상 한 우변에 대하나 조건입니다. 그 것은 b1+b2 가 b3과 연결 된다는 것을 말 하는 것입니다. 그리고 만약 우리의 숫자가 1, 5, 그리고 6이라면 그래서 제가 한 번 b가 1 5 6 이라고 가정 해 보도록 하겠습니다. 그 것은 괜찮은 b입니다. 그리고 제가 이에 대해 소거를 할 때 제가 무엇을 가질 것입니까? b1은 여전히 1이 될 것입니다. b2는 5 빼기 2가 되는 것입니다. 이 것은 3 5가 될 것입니다. 제 6 빼기 5 빼기 1은 이 것은 주요 포인트입니다. 이 것은 0이 될 것입니다. 감사합니다. 네. 그래서 마지막 방정식은 지금 괜찮은 것입니다. 그리고 저는 정말 네 개의 알 수 없는 미지수와 함께 있는 그 두 방정식에 대해 푸는 것을 계속 해서 할 수 있습니다. 네. 저는 말이죠 저는 그 것을 하고 싶습니다. 그래서 이 것은 말이죠 이 b는 괜찮습니다. 그 것은 해를 허용 하는 것입니다. 우리는 자연스럽게 그 방정식을 풀 수 있게 만드는 b에 대한 조건들과 관련 해 계속 하는 것에 흥미를 갖게 되게 될 것입니다. 그래서 제가 우리가 이미 전에 그 것을 푸는 것을 계속 했던 것을 보는 것에 대해 적도록 하겠습니다. 저는 첫 번째로 풀 수 있는 것에 대한 것입니다. 그래서 이 것은 우변에 대한 조건입니다. 그리고 그 조건은 무엇인가요? 이 것은 항상 Ax는 b와 같다 라는 풀 수 있는 것입니다. 그래서 Ax는 b와 같다는 것은 풀 수 있다라는 것이죠. 음 사실 우리는 행 공간에 대한 언어에 대해 답을 갖고 있습니다. 여러분 제게 그 답이 뭐였는 가에 대해 다시 한 번 말 해 줄 수 있나요? 그 것은 마치 이 전 강의에서 했던 답과 같은 것입니다. b는 행 공간에 있어야만 합니다. 풀 수 있습니다. 만약 정확히 b가 A의 행 공간 안에 있다면 말이죠. 그렇죠? 그 것은 단지 b가 행의 혼합이 되어야만 한다는 것을 말 해 주는 것입니다. 그리고 물론 당연히 그 것은 정확히 그 방정식이 찾고 있는 것입니다. 그래서 지금 저는 그 것을 답 하고 싶습니다. 다른 언어지만 같은 답입니다. 답을 하는 데에 있어서 또 다른 방법은 만약 A의 열의 혼합이 0 열을 주는 것이라면 그리고 이 것은 그 것이 발생 하게 된 예시입니다. A의 열의 몇 몇 혼합은 0 열을 도출 하는 것입니다. 그 다음 b에 대한 조건은 무엇입니까? 왜냐면 그 이유는 우리는 모든 방정식의 양 면에 대해 같은 것을 하는 것입니다. b의 구성 요소의 같은 혼합은 0을 주는 것입니다. 그렇죠? 그 것은 만약 0 열을 주는 열의 혼합이라면 그 다음 b의 항목의 같은 구성 요소는 0을 주는 것이 되는 것입니다. 그리고 이 것은 0 열이 아닌 것입니다. 그 것은 0 숫자인 것입니다. 네 . 이 것은 말 할 것에 대한 또 다른 방법입니다. 그리고 그 것은 우연히 바로 나온 것이 아닙니다. 네. 이 두 진술은 같은 것입니다. 그러나 다소 그들은 그래야만 합니다. 왜냐면 그 이유는 그들은 모두 그 체계의 풀 수 있는 것에 대해 같은 것입니다. 네. 그래서 우리는 질문 0과 같은 것을 얻을 수 있는 것입니다. 그 체계는 해를 갖고 있죠? 네. 저는 그 것에 대해 논의 하기 위해 다시 살펴 보도록 할 것입니다. 그 것이 그럴 때 한 번 앞에서 미리 봅시다. 그 곳에 해가 있을 때 말이죠. 그리고 그래서 지금 우리의 일이 무엇입니까? 추상적으로 우리는 뒤에 앉아서 그리고 우리는 말 합니다. 네. 그 곳에는 해가 있죠. 끝났습니다. 그 것은 존재합니다. 그러나 우리는 그 것을 건설 하는 것을 원합니다. 그래서 해를 찾기 위한 단계의 연속을 나타 내는 그 알고리즘은 무엇입니까? 그 것은 그리고 물론 퀴즈 그리고 기말고사에서 제가 여러분께 Ax는 b와 같다는 체계를 줄 것입니다. 그리고 저는 여러분께 그 해에 대한 것을 질문 하도록 할 것입니다. 만약 그 곳에 하나가 있다면 말이죠. 그리고 그래서 이 알고리즘은 여러분이 따라 하고 싶은 것입니다. 네. 한 번 봅시다. 그래서 지금 Ax는 b와 같다 라는 완전한 해를 찾기 위한 것입니다. 네. 하나의 해를 찾음으로써 제가 시작 해 보도록 하겠습니다. 하나의 특정 해에 대한 것 말이죠. 저는 제가 할 수 있다고 예상 합니다. 왜냐면 방정식의 저의 체계는 지금 그 마지막 방정식은 0은 0과 같다 라는 것 이기 때문입니다. 그 것은 모두 괜찮은 것입니다. 저는 정말 두 방정식을 가지고 있습니다. 사실 저는 네 개의 알 수 없는 미지수를 구했습니다. 그래서 저는 해를 찾는 것 뿐만 아니라 그들의 전체를 찾기 위해 예상 하고 있는 것이니다. 그러나 우리 일단은 하나를 찾아 보도록 해요. 그래서 첫 번째 단계입니다. 특정 해 x에 대한 것입니다. 제가 어떻게 하나의 특수 해를 찾을 수 있는 것일까요? 음 제가 어떻게 찾는 가에 대해 여러 분께 말 해 드리도록 하겠습니다. 그래서 이 것은 왜냐면 많은 해가 있기 때문에 여러분은 특수 해를 찾기 위한 여러분 자신의 방법을 가질 수 있는 것입니다. 그러나 이 것은 상당히 자연적인 방법입니다. 모든 자유 변이를 0으로 놓도록 해 봅시다. 왜냐면 이 자유 변이 들이 어느 것이 될 수 있는 것이기 때문입니다. 가장 편리한 선택은 0입니다. 그리고 그 다음 피벗 변이에 대한 Ax는 b와 라는 것을 풀도록 합시다. 그래서 이 예시 문제에서 그 것은 무엇을 의미하는 것입니까? 어떤 것이 자유 변이 인가요? 우리가 자유롭게 할당 할 수 있는 자유 변이는 무엇인가요 그리고 그 다음 그 곳에는 하나가 있습니다.그리고 그 피벗 변이를 찾기 위한 유일한 하나의 방법은 무엇인가요? 그들은 x2입니다. 그리고 따라서 x2는 0입니다. 왜냐면 그 이유는 그 것은 피벗이 없는 행이기 때문입니다. 그 두 번째 행은 피벗이 없는 것입니다. 그리고 그 다른 것은 무엇인가요? 그 네 번째, x4은 0입니다. 왜냐면 그 이유는 그 것은 자유 변이 이기 때문입니다. 그 것은 피벗이 없는 행 안에 있는 것입니다. 그래서 여러분은 보시는 것입니다. 그래서 제가 이렇게 했을 때 x2 그리고 x4가 0이 될 때 저는 왼쪽으로 그 것을 말이죠 제가 여기에 무엇을 왼쪽으로 했나요? 저는 그냥 그 것을 왼쪽으로 자, 지금 저는 두 자유 행을 사용 하고 있는 것이 아닙니다. 저는 오직 피벗 행을 사용 하고 있는 것입니다. 그래서 저는 정말 x1을 왼쪽으로 하는 것이 되는 것입니다. 그 첫 번째 방정식은 단지 x1 그리고 두 개의 x3 이었습니다. 그 것은 우리가 하나가 되도록 뽑은 우변에 있어야 합니다. 그리고 그 두 번째 방정식은 두 x3입니다. 그 것이 발생 함에 따라 삼으로 판명 난 것입니다. 저는 단지 그 것을 여기 다시 쓰도록 할 게요. x2 그리고 x4와 함께 말입니다. 왜냐면 그 이유는 우리는 그 것을 0으로 놓았기 때문입니다. 그리고 여러분은 우리가 다시 일반적인 것과 관련 된 것을 돌아 왔다는 것을 보시고 있는 것입니다. 역대입이 그 것을 할 것이라는 것과 관련 해서 말입니다. 그래서 x3은 3개의 반이 되는 것입니다. 그리고 그 다음 우리는 다시 뒤로 가서 그리고 x1은 일 마이너스 두 개의 x3이 되는 것입니다. 그 것은 아마 마이너스 이일 것입니다. 좋습니다. 그래서 지금 우리는 해를 가지게 되는 것입니다. x 특수 해는 맥터 마이너스 2 0 3개의 반 0입니다. 네. 그렇습니다. 그 것은 하나의 특수 해입니다. 그리고 우리는 그 것을 본래의 체계로 연결 해야만 하는 것이고 그리고 할 수 있는 것입니다. 정말 만약 퀴즈에 대해 그 것은 하면 좋은 것입니다. 그래서 우리는 모든 열 작업을 했습니다. 그러나 이 것은 본래 체계를 풀기 위한 것으로 된 것입니다. 그리고 저는 생각 하기에 그 것이 그렇다는 것을 말 하는 것입니다. 네. 그래서 그 것은 우리가 구했던 x 특수 해입니다. 그래서 그 것은 오늘날 새로운 것과 같은 것입니다. 그 특수 해는 첫 번째로 오게 되는 것인데요 여러분은 여러분이 0은 0과 같다라는 것을 갖고 있는 것에 대해 확인 해 보아야 하는 것입니다. 그래서 여러분은 그 마지막 방정식에 대해 괜찮은 것입니다. 그리고 그 다음 여러 분은 0으로 자유 변이를 놓게 되는 것입니다. 피벗 변이에 대해 해결 하고 그리고 여러분은 특수 해를 구하는 것입니다. 그 특수 해는 0 자유 변이를 갖는 것입니다. 네. 지금 하지만 그 것은 유일한 하나의 해입니다. 그리고 지금 저는 모든 것을 찾고 있는 중입니다. 그래서 제가 그 나머지를 어떻게 찾을 수 있는 것이죠? 그 포인트는 저는 x에 대해 더할 수 있다 라는 것입니다. 영공간의 어떤 것이라도 말입니다. 우리는 어떻게 영공간 안에 백터를 찾는 것인 가에 대해 알고 있습니다. 왜냐면 그 이유는 우리는 그 것을 지난 시간에 했기 때문입니다. 그러나 저는 여러분께 우리가 구한 것에 대해 다시 한 번 기억 나게 해 드리겠습니다. 그리고 그 다음 저는 그 것을 더할 것입니다. 그래서 그 마지막 결과는 완전한 해가 되는 것입니다. 이 것은 지금 완전한 것입니다. 그 완전한 해는 이 특수 해 더하기 어떤 백터, 영공간에서 나오는 모든 다른 백터를 더한 것입니다. xn입니다. 네. 음 왜 이 패턴인가요 왜냐면 그 이유는 이 패턴은 우리가 선형 방정식을 갖는 모든 곳에 대해 수학의 모든 것을 보여 주는 것 이기 때문입니다. 제가 그냥 여기에 이유를 적도록 하겠습니다. 그래서 그 것은 x 특수 해입니다. 그래서 특수한 Ax는 무엇을 주는 것인가요? 그 것은 옳은 우변 b를 주는 것입니다. 그리고 영공간에서 A 곱 하기 x는 무엇을 주는 것인가요? 0입니다. 그래서 저는 더합니다. 그리고 저는 괄호 안에 놓습니다. 그래서 xp 더하기 xn은 b 더하기 0인 것으로 b인 것입니다. 그래서 제가 무슨 말을 하고 있었나요? 제가 그냥 그 것을 말로 말 하도록 할게요. 만약 제가 하나의 해를 갖는 다면 저는 영공간 안의 어떤 것을 더 할 수 있게 되는 것입니다. 왜냐면 그 이유는 영공간 안의 어떤 것은 0 우변을 갖기 때문입니다. 그리고 저는 여전히 옳은 우변 B를 갖는 것입니다. 그래서 그 것은 제 체계입니다. 그 것은 제 완전한 해입니다. 그래서 이 예제 문제에서 x 일반은 x는 완전한 해는 마이너스 1 0 3 반 0인 x 특수 해인 것입니다. 자유 변이 안의 0과 함께 말입니다. 이와 더불어 여러분은 자유 변이 안에 하나를 가지고 있는 영공간 안에 특수 해가 있다는 것을 기억 하고 있습니다. 혹은 자유 변이 안의 1 그리고 0입니다. 그리고 그 다음 우리는 다른 것을 찾기 위해 채웠나요? 저는 그들이 무엇인지 잊어 버렸습니다. 그러나 아마 이 것은 그 것이었을 것입니다. 그 것은 특수 해입니다. 그리고 그 다음 그 것은 자유 변이 0인 또 다른 특수 해입니다. 그리고 이 자유 변이는 일과 같은 것입니다. 그리고 저는 이 것들을 안에 채워야만 하는 것입니다. 한 번 봅시다. 제가 어떻게 이 것을 채울 수 있는 가에 대해 기억 할 수 있겠죠? 아마 이 것은 마이너스 2입니다. 그리고 이 것은 2입니다. 아마도. 저는 아마 그 것이 맞을 것이라 생각합니다. 그 것은 여러분에게 쓰는 것인가요? 저는 제 방정식이 무엇인 가에 대해 기억할 것입니다. 제가 오히려 칠판에서 이렇게 해도 될까요 제가 그 첫 번째 방정식이 두 x3 더 하기 이 x4는 지금 0과 같다는 것 을 기억 하도록 할 것입니다. 왜냐면 그 이유는 저는 영공간 안에 있는 것을 찾고 있기 때문입니다. 그래서저는 x4가 일이 되도록 놓았습니다. 그리고 두 번째 방정식 저는 다시 복사 하지 않았습니다. 그 것은 제게 이 것에 대한 마이너스 이를 주었습니다. 그 다음 네 그래서 저는 그 것이 옳다고 생각 하는 것입니다. 이 마이너스 사 그리고 이는 0을 주는 것이죠. 확인 해 보세요. 네. 이 것은 특수 해입니다. 우리가 완전한 해를 구하기 위해 무엇을 해야 하나요? 제가 지금 어떻게 해야 그 완전한 답을 구하게 될 수 있는 것이죠? 저는 이 것을 어떤 것으로 곱 하기 했습니다. c1 이라고 말 할 게요. 그리고 저는 이 것을 어느 것으로 곱 하기 했어요. 전 어떤 조합을 쓴 것입니다. 기억 하세요. 그 것은 우리가 영공간을 묘사 한 것입니다. 그 영공간은 모든 조합을 구성 하는 것입니다. 그래서 이 것은 xn입니다. 모든 특수 해의 조합입니다. 그 것은 두 개의 특수 해가 있는 것입니다. 왜냐면 그 이유는 그 것은 두 자유 변이 이기 때문입니다. 그리고 우리는 그 것을 세기를 원합니다. 조심스레 지금. 제가 여기에 있는 동안 말이죠. 그래서 그 것은 제가 찾고 있는 답이 된 것입니다. 이 것과 곱 할 상수가 있나요? x 특수 해와 곱 할 자유 상수가 있나요? 아닙니다. 네? x 특수 해는 A xp = b를 푸는 것입니다. 저는 그 삼을 곱 하기 하는 것을 허용 하지 않습니다. 그러나 Axn은 저는 xn을 삼으로 곱 하는 것을 허용 하는 것입니다. 혹은 또 다른 xn을 더 하기 하는 것입니다. 왜냐면 저는 오른쪽에 0으로 가게 계속 하기 때문입니다. 네. 그래서 다시 xp는 하나의 특정한 것입니다. 
xn는 모든 부분 공간입니다. 네. 그 것은 부분 공간으로부터 플러스 되는 어떤 것입니다.k 제가 그 것을 그려 보도록 하겠습니다. 저는 그리는 것을 원하는 것입니다. 저는 모든 이 것을 그래프 그리는 것을 원하는 것입니다. 저는 모든 해를 구성 하는 것을 원하는 것이죠. 자 x는요 그래서 I 차원은 무엇입니까? 이 것은 좋지 않은 포인트입니다 얼마나 많은 구성요소가 x를 가지고 있나요? 사입니다. 그 것은 네 가지 미지수 이죠. 그래서 저는 이 MIT 칠판에 사 차원 그림을 그려야 하는 것입니다. 네. 그래서 여기 있습니다. x1 아인슈타인은 이 것을 할 수 있을 것입니다. 그러나 이 것은 이 것은 네 개의 수직 축입니다. 사 차원을 표현 하기 위하는 것에 말입니다. 네. 제 해가 어디에 있죠? 제 해가 부분 공간을 형성 하는 것인가요? Ax = b는 부분 공간을 형성 하는 일련의 해인가요? 아닙니다. 그 것이 실제로 무엇처럼 보이나요? 부분 공간은 이 그림 안에 있는 것입니다. 이 부분은 부분 공간입니다. 네? 그 부분은 이 차원과 같은 몇 몇을 갖고 있습니다. 왜냐면 그 이유는 저는 두 매개 변수를 가졌기 때문입니다. 그래서 그 것은 제 생각에 이 영공간은 R^4 안에 이 차원 부분 공간인 것입니다. 지금 저는 여러분께 말 해 드려야만 합니다. 그리고 저는 여러분께 다음 시간에 말씀 드리도록 할게요. 부분 공간을 말 하는 것은 무슨 의미 인가요? 부분 공간의 차원은 무엇인가요? 그러나 여러분은 그 것이 무엇을 할 가에 대해 보는 것입니다. 그 것은 우리가 선택 할 수 있는 자유 독립 상수의 숫자입니다. 그래서 다소 그 것은 이 차원의 부분 공간이 될 것입니다. 선이 아니라 말입니다. 그리고 삼 차원 평면이 아니리 것입니다. 그러나 오직 이 차원의 것이 될 것입니다. 그러나 그 것은 본래의 것을 하지는 않는 것입니다. 왜냐면 그 이유는 그 것은 이 포인트를 지나기 때문입니다. 그래서 그 것은 특수 해 x입니다. x 특수 해는 여기 어딘 가에 있는 것입니다. x 특수 해입니다. 그래서 그 것은 다소 부분 공간인 것입니다. 제가 그 것을 그 방법으로 그리는 것을 해 봐도 되요? 그 것은 x 특수 해를 지나는 이 차원 부분 공간입니다. 그리고 그 다음 그래서 그 것은 x 특수 해입니다. 그리고 저는 xn에 대해 그 것을 더했습니다. 그 것은 x = xp + xn입니다. 그러나 xn은 이 부분 공간 어디에 있는 것입니다. 그래서 평면을 채울 수 있도록 말이죠. 그 것은 부분 공간입니다. 그 것은 부분 공간이 아닙니다. 제가 무슨 말을 하고 있죠? 그 것은 평평하나 것 같은 것입니다. 그 것은 부분 공간 같은 것입니다. 그러난 그 것은 이동 했습니다. 본래의 것으로부터 말이죠. 그 것은 0을 포함 하지 않습니다. 네. 감사합니다. 그 것은 그림입니다. 그리고 그 것은 알고리즘입니다. 그래서 그 알고리즘은 그냥 소거를 겪는 것입니다. 그리고 특수 해를 찾는 것입니다. 그리고 그 다음 이 특수 해를 찾는 것입니다. 여러분은 그 것을 할 수 있습니다. 제가 여기에서 잠시 생각을 하도록 할 게요. 더 큰 그림에 대해 말 이죠. 그래서 저는 그 것에 대해 생각 하는 것입니다. 그래서 이 것은 저의 패턴입니다. 지금 저는 생각 하는 것을 원합니다. 전 여러분께 질문을 하고 싶습니다. 저는 여러분께 몇 몇 질문을 물어 보고 싶습니다. 그래서 제가 더 큰 것을 생각 하는 것을 의미 하는 것이라고 했을 때 저는 제가 차수 r의 행렬 A에 대해 m 곱 하기 n에 대해 생각 하는 것을 의미 하는 것입니다. 네. 차수의 우리의 정의는 무엇이죠? 우리의 현재 차수에 대한 정의는 피벗의 개수입니다. 네. 무엇 보다 먼저 이 숫자들이 어떻게 관련 된 것인가요? 여러분은 제게 r 그리고 m의 관계에 대해 제게 말 해 줄 수 있나요? 만약 제가 그 행렬에 m 열을 갖고 있다면 그리고 R 피벗을 갖고 있다면 그 다음 저는 당연히 아는 것입니다. 항상 무슨 관계를 제가 r 그리고 m 사이에 아는 것인가요? r은 더 적거나 혹은 같은 것입니다. 네? 왜냐면 그 이유는 저는 m 열을 구했기 때문입니다. 저는 m 피벗 이상으로 더 가질 수 없습니다. 저는 m을 갖고 있고 그리고 저는 더 적게 갖고 있습니다. 또한 저는 n 행을 구해Ttqmsl다 그래서 r 그리고 n 과의 관게는 무엇입니까? 그 것은 같은, 더 적은 , 혹은 같은 것입니다. 왜냐면 그 이유는 행은 하나 피벗 이상으로 더 가질 수 없기 때문입니다. 그래서 저는 모두 다 같이 n 피벗 이상으로 더 많이 가질 수 없는 것입니다. 네, 네. 그래서 저는 r 차수의 m 곱 하기 n 행렬을 갖는 것입니다. 그리고 저는 항상 r이 더 적은 것이거나 혹은 m과 같은 것을 항상 알고 있습니다. 그리고 r이 n 보다 더 적거나 혹은 같다 라는 것을 알고 있습니다. 지금 저는 특히 완전 차수에 대한 경우에 대해 흥미를 갖고 있죠. r 차수는 그 것이 할 수 있는 만큼 큰 것입니다. 음 저는 생각 하기에 제가 두 분리 된 가능성을 여기 구했다고 생각 해요. m 그리고 n 이라는 숫자가 무엇 인가에 따라 말입니다. 그래서 완전 행 차수의 경우에 대한 이야기를 해 보도록 할 게요. 그리고 r은 n과 같다 라는 의미에 대해서 말입니다. 그리고 제가 여러 분께 질문 하고자 하는 것은 우리의 해에 대해 그 것은 무엇을 암시 하는 것이죠? 그 것은 우리에게 무엇에 대해 완전한 해에 대해 말하는 것인가요?sp 그래서 그 것이 의미 하는 것이 무엇입니까? 그래서 저는 여러분께 질문 하고 싶습니다. 음 네. 만약 차수가 n이라면 그 것은 무엇을 의미 하는 것입니까? 그 것은 그 것이 매 행 마다 피벗이 있음을 의미 하는 것입니다. 그래서 얼마나 많은 피벗 변이가 그 곳에 있어요? n입니다. 모든 행은 이 경우 피벗을 가집니다. 그래서 얼마나 많은 자유 변이 가 그 곳에 있게 되는 것입니까? 없습니다. 그래서 자유 변이 가 없습니다. r은 n 과 같다 라는 자유 변이 가 없는 것입니다. 그래서 우리의 작은 알고리즘에서 그 것은 무엇에 대해 말 하는 것 이죠? 무엇이 영공간 안에 있을 것입니까? A의 영공간은 그 것 안에 갖게 되는 것입니다. 오직 0 백터입니다. 그 곳에는 다른 값을 줄 수 있는 자유 변이가 없습니다. 그래서 영공간은 오직 0백터입니다. 그리고 우리의 Ax = b에 대한 해는 어떤가요? Ax = b에 대한 해는 요? 그 것에 대한 이야기는 무엇이죠? 그래서 지금 그 것은 오늘의 강의로부터 나온 것입니다. x에 대한 해는 말이죠 무엇이 완전한 해입니까? 그 것은 단지 x 특수 해입니다. 네. 만약 만약 그 것이 x이고 만약 그 것이 해 라면 그 것은 x는 x 특수 해와 같은 것입니다. 음 그 곳에는 단지 하나의 차수만 있는 것입니다. 만약 그 곳에 하나만 있다면 말 이죠. 그래서 그 것은 특수 해인 것입니다. 특수 라는 말의 의미는 오직 하나 유일한 이라는 것을 의미 하는 것입니다. 만약 그 것이 존재 한 다면 만약 그 것이 존재 하는 것 이라면 말 이죠. 다른 말로 표현 해서 저는 그 것을 다른 방법으로 놓아 두는 것으로 말 하도록 하겠습니다. 그 것은 0 혹은 하나의 해를 갖는 것입니다. 이 것은 r은 n과 같다 라는 경우에 있는 모든 것입니다. 그래서 저는 말이죠 왜냐면 그 이유는 실제에서 많은 경우 행은 제가 나중에 독립적이라고 부를 것입니다. 그리고 저는 영공간 안에 대한 것을 볼 것이 없을 것입니다. 모두 그 가능성에 대해 보셨죠? 그러나 저는 예제 문제가 필요한 것입니다. 네. 그래서 제가 예제 문제 하나를 만들어 보도록 할 게요. 어떤 형태의 행렬이 완전 행 차수인 것인가요? 그래서 제가 그 것을 여기 예제에 이렇게 해 봐도 되는 것 인가요? 만약 그 것이 존재 한다 라면 말 이죠. 제가 예제를 여기 두도록 하겠습니다. 그리고 그 것은 단지 예제를 놓는 옳은 공간인 것입니다. 그 이유는 왜냐면 그 예제 문제는 길고 그리고 날씬한 것과 같은 것이 될 것 이기 때문인 것입니다. 그 것은 음 제가 말 하는 것에 대한 의미가 여기 예제 문제가 있는데 1 2 6 5 3 1 1 1 이라는 것입니다. 좋은 예제 문제이죠. 
네. 그래서 여기 행렬 A가 있습니다. 그리고 그 것의 차수는 무엇 이죠? 그 것의 차수는 무엇이죠? 얼마나 많은 피벗이 제가 만약 소거를 한다면 찾을 수 있는 것이 되는 것 인가요? 2 요. 네? 2 요. 저는 그 곳 피벗을 보는 것입니다. 물론 이 두 행은 다른 방향을 향 하고 있는 것입니다.k 제가 소거 할 때 저는 당연히 여기 또 다른 피벗을 구할 것입니다. 그리고 저는 이 것을 아래 그리고 위에 정리 하게 되는 데에 사용 할 것입니다. 그래서 사실 제게 그 것의 열 감소 된 열 엔셜론 형태가 무엇이 될 가에 대해 말 하겠습니다. 여러 분은 그 것을 옮길 수 있습니까? 그 소거 과정과 관련 한 것 말입니다. 그래서 그 것은 무엇을 의미 하죠? 저는 이 열에서부터 나온 이 것의 곱 하기를 빼는 것입니다. 그래서 저는 모든 그 곳의 0을 정리 하는 것입니다. 그 다음 저는 여기 몇 몇 피벗을 구하는 것입니다. 제가 이 것과 관련 해 무엇을 하는 것 인가요? 저는 그 것을 밑에 그리고 위에 그 것을 빼는 것입니다. 그리고 그 다음 저는 그 것을 나누는 것입니다. 그리고 그 것에 대한 예제 문제에 대한 것은 무슨 R 인가요? 아마 여러 분은 제게 그 것에 대한 단지 여기 다음 칠판에 있는 것을 허용 하게 될 것입니다. 
연습 한 예제 중에 그 행 렬 에 대한 줄어든 엔셜론 형태는 무엇 이죠? 그 것은 피벗 안에 있는 것입니다. 그 것은 단일 행렬에 대한 것입니다. 작은 이 곱 하기 이 단위 행렬 말 이죠. 그리고 모든 0 그 것 아래에 말 이죠. 그 것은 정말 두 독립 행을 가진 행 렬인 것입니다. 그리고 그들은 첫 번째 둘입니다. 사실. 그 첫 번째 두 열은 독립 적인 것 이죠. 그들은 같은 방향에 있는 것이 아닙니다. 그래서 항상 Ax 는 b 와 같다 라는 해가 있는 것 입니까? 제게 여기 그림이 무엇 인가에 대해 말 해 주세요. 행렬 A에 대해 이 것은 완전 행 차수에 관한 것입니다.  
두 행은 두 피벗을 주는 것입니다.  
영공간 안에 어떤 것도 없습니다.  
0 0 결합에 대한 것 제외 하고 0 행에 대한 것을 주는 이 행의 결합은 없는 것입니다. 
그래서 그 곳은 영공간 안에 없는 것입니다. 그러나 항상 그 곳에는 항상 A X는 B와 같다 라는 해가 있는 것인가요? A X는 B와 같다 라는 것은 무엇 인가요? 저는 네 개의 방정식을 여기 구했습니다. 그리고 오직 두 X에 대해 구했죠. 그래서 그 답은 물론 아닙니다. 그 것은 항상 해가 아닙니다. 저는 아마 0 해를 가질 것입니다. 그리고 만약 제가 랜덤 선택을 만든 다면 저는 0 해를 가질 것입니다. 혹은 만약 제가 멋진 특정한 선택을 우변에서 만든다면 이 두 개의 것 중 결합이 일어난 것에 대해 말입니다. 네게 우변은 해가 있다고 말 해 주세요. 음 0 0 0 0 이죠. 네. 그 것에는 없는 것입니다. 제게 또 다른 하나를 말 해 주세요. 우변에서 해를 가진 또 다른 것은 4 3 7 6입니다. 저는 두 행을 더할 수 있습니다. 네? 만약 우변이 4 3 7 6이라면 무엇이 특수 해가 되는 것입니까? 특수 해 일 일이 있게 되는 것입니다. 그 행 중 하나는 그 것의 더 하기 일입니다. 그리고 그 것은 유일한 해입니다. 그래서 그 것은 x 특수 해는 그 경우 일 일 이 될 것입니다. 우변이 이 두 행의 합계일 때 말입니다. 그리고 그 것이 이상입니다. 그래서 그 것은 하나의 해에 대한 경우입니다. 네. 그 것은 이 것은 완전한 행 차수에 대한 전형적 인 것입니다. 지금 저는 완전 열 차수로 가는 것입니다. 여러분은 이 논의에서 자연적 좌우 대칭을 보는 것입니다. 완전 열 차수는 r과 m이 같다 라는 의미를 뜻합니다. 그래서 이 것은 제가 지금 흥미 있어 하는 것입니다. r은 m 과 같다 라는 것 말입니다. 네. 그 것과 관련 된 것은 무엇입니까? 얼마나 많은 피벗이 있습니까? m이죠. 그래서 우리가 이 경우 소거를 하면 무슨 일이 일어나게 되요? 전 m 피벗을 갖게 될 것입니다. 그래서 모든 열은 피벗을 갖게 되는 것입니다. 네. 매 열은 피벗을 갖는다. 그 다음 해결 가능 한 것에 대한 것은 어떻습니까? 우변과 관련 된 이 것은 제가 풀 수 있는 것인가요? 그래서 그 것은 제 질문입니다. 저는 Ax는 b와 같은 것이다 라는 것을 풀 수 있습니다. 이 것은 우변에 있는 것이죠. 여러분은 무엇이 어떻게 될지 보고 계십니다. 저는 소거를 하는 것입니다. 저는 어느 0 행을 구하지 않습니다. 그래서 b에 대해 어느 조건도 없는 것입니다. 저는 b에 대해 Ax는 b와 같다는 것을 풀 수 있습니다. 저는 Ax는 b와 같다 라는 것을 우변에 대해 풀 수 있습니다. 그래서 이 것은 존재 하는 것입니다. 이 것은 해가 존재 하는 것이라는 것 이죠. 자 제게 말 해 주세요 그리고 매 열은 그 것 안에 피벗이 있는 것입니다. 
그래서 얼마나 많은 자유 변이가 그 곳에 있나요? 이 경우 얼마나 많은 자유 변이가 있나요? 만약 제가 n 변이를 갖는 다는 것으로 시작 하면 얼마나 많은 것이 피벗 변이에 의해 사용 되는 것 이죠? m인 r입니다. 그래서 저는 그 것을 n 마이너스 r 자유 변이라고 남기는 것입니다.  
네. 그래서 완전 열 차수의 이 경우에 대해 저는 항상 풀 수 있게 됩니다. 그리고 그 다음 이 것은 제게 얼마나 많은 자유가 있는 가에 대해 말 해 주는 것이죠. 그리고 이 것은 물론 n 마이너스 m입니다. 이는 n 마이너스 m 자유 변이입니다. 제가 예를 들어도 되죠? 여러분은 알겠지만 저에게 이 문제를 할 수 있는 데에 관한 가장 좋은 방법은 그 예제 문제를 transpose 하는 것입니다. 그래서 제가 그 행렬이 말이죠 행에 대해 1 2 6 5를 갖고 있는 그 행을 사용 하고 그리고 그 것을 열로 만들도록 하겠습니다. 그리고 제가 두 번째 열에 대해서는 3 1 1 1 로 놓아 두도록 하겠습니다. 그리고 저는 우리 학생 여러 분께 물어 보도록 하겠습니다. 이 것은 A 행렬입니다. 그것의 차수는 무엇인 것입니까? 그 행렬에 대하나 차수는 무엇이죠? 이런 것을 물어 보게 되어 미안합니다. 그러나 정말 이 것은 우리가 차수에 대한 개념을 이해 하고 아는 데에 있는 것 이기 때문에 하는 것입니다. 그 행렬에 대한 차수는 무엇 이죠? 이 이죠. 정확히 이입니다. 
그 것은 두 피벗일 것입니다. 줄어든 엔셜론 열은 무엇을 형성 할 것입니까? 이 것에 대해 아는 사람 있나요? 사실 제게 여러분은 그 곳에 두 피벗이 있을 뿐만 아니라 피벗 행도 있을 것이라는 것을 말 해 주세요.  
이 행렬의 어느 행이 피벗 행이 될 것인가요? 그래서 첫 번째 행은 괜찮은 것입니다. 그리고 그 다음으로 저는 그 다음 행으로 가는 것이빈다. 그리고 제가 무엇을 구하게 될 수 있나요? 제가 그 것 중 제가 이 위치 안에서 두 번째를 구하게 될 수 있을 까요? 네 
그래서 제가 R에 대한 모든 것을 구할 때 피벗은 그 곳에 있을 거십니다. 그리고 여기는 몇 몇 숫자가 있을 것입니다. 이 것은 제가 이 전에 F 라고 부른 부분입니다. 그 것은 R 안의 피벗 앵렬이 단위 행렬이 될 것이라는 것입니다. 그 것은 0 열이 아닙니다. 0 열이 없습니다. 왜냐면 그 것은 차수가 2 이기 때문입니다.  
그러나 그 곳에 여기 항목이 있을 것입니다.  
그리고 그 것은 특수 해를 들어 갈 것이고 그리고 영공간을 들어 갈 것입니다. 네.  
그래서 이 것은 r은 m과 같다라는 것이 n 보다 더 작다 라는 전형적인 행렬인 것입니다.  
전 마침내 r과 m과 n이 같다 라는 공간에 대해 구하게 되었습니다. 저는 여기 코너와 관련 해서 있습니다. 모든 가장 중요한 경우와 함께 말이죠.  
그래서 이 행렬에 대해 무슨 일이 있는 것이죠? 그래서 제가 예를 들어 보도록 할 게요. 
네. 좋은 예입니다. 1 2 3 1. 제게 말해 주세요. 제가 어떻게 차수를 나타 내는 r과 m과 n이 같다는 것을 가진 행렬을 묘사 할 수 있는 가에 대해 말입니다. 그래서 그 행렬은 제곱입니다. 네. 그 것은 제곱 행렬인 것입니다. 그리고 만약 제가 그 것의 차수가 말이죠 그 것이 완전한 차수라는 것을 안다면 말이죠. 저는 완전한 행 차수 혹은 완전한 역 차수를 말 할 필요가 없습니다. 저는 그냥 완전한 차수를 말 하는 것입니다. 왜냐면 그 숫자 행 숫자 그리고 열 숫자는 같은 것 이기 때문입니다. 그리고 그 차수는 그 것이 할 수 있을 정도로 큰 것입니다. 그리고 어떤 종류의 행렬을 제가 갖고 있는 것인가요? 그 것은 역행렬입니다. 그래서 그 것이 정확히 역행렬이 되는 것이니다. r과 m과 n 이 같다는 의미는 말이죠 무엇이 열 엔셜론 형태입니까? 그 줄어든 열 엔셜론 형태는 무엇입니까? 역행렬에 대해 말이죠? 제곱 좋습니다. 제곱 역행렬? 그 것은 I입니다. 네 . 그래서 여러분은 좋은 행렬은 R에서 약가나 나오는 것 같은 것입니다. 여러 분은 단위 행렬에 대해 그 것 모두 줄이는 것입니다. 이 행렬에 대한 영공간은 뭐예요? 그 행렬의 영공간은 오직 0 백터입니다. 
그 영 백터 유일하게입니다. Ax=b를 풀기 위한 조건은 무엇입니까? 어떤 우변 b가 괜찮은 것이죠? 만약 제가 이 예제에서 Ax = b 라는 것을 풀고 싶다면 그래서 A는 이 것입니다. b는 b1 b2입니다. b1 그리고 b2에 대한 조건은 무엇입니까? 아무 것도 아닙니다. 네.  
그래서 이 경우 이 것은 제가 풀 수 있는 해입니다. 그래서 저는 여기 다시 온 것입니다. 저는 할 수 있습니다. 왜냐면 그 차수는 m과 같기 때문입니다. 저는 모든 b에 대해 풀 수 있습니다.  
그리고 왜냐면 그 차수는 또한 n 이기 때문에 그 것은 특수 해입니다. 제가 여기 이 전체 그림을 요약 해 보도로 할 게요. 여기에 그 전체 그림이 있습니다. 저는 r과 m과 n은 같다는 것을 가질 수 있는 것입니다. 이 것은 이 단위 행렬인 경우입니다. 그리고 이 것은 하나의 해가 있는 경우입니다. 그 것은 제곱 역행렬 제 이 과의 경우입니다. 지금 우리는 제 삼과에 있는 것입니다. 우리는 r은 m과 같다 라는 것은 n과 더 작은 것을 가질 수 있는 것입니다. 지금 그 것은 우리가 그 곳에 대해 갖는 것입니다. 그리고 열 엔셜론 형태는 몇 몇 0 열에 대한 단위 행렬과 같이 보이는 것입니다. 그리고 그 것은 0 혹은 하나의 해가 있는 경우인 것입니다. 저는 해가 Ax는 b와 같다 라는 것을 의미 하는 것을 말 하는 것입니다. 그래서 이 경우 그 것은 항상 일 인 것입니다. 이 경우 그 곳은 0 혹은 1입니다. 그리고 지금 제가 완전 행 차수의 경우를 취해 보도록 하겠습니다. 그러나 몇 몇 여분의 행에 대해 말입니다. 그래서 지금 R은 음 단위 행렬에 대해 말이죠 저는 거의 단위 행렬을 쓰고 그리고 F에 대해 쓰도록 하려고 하고 있습니다. 그러나 그 것은 반드시 옳은 것은 아닙니다. 저는 말이죠 그 것은 옳은 것입니까? 제가 여기 옳게 하고 있는 것인가요? 그렇지 않군요. 어머나. 이 것은 R은 n과 같다 라는 경우입니다. 그 행은 말이죠 그 행은 괜찮습니다. 그 것은 그 칠판에 있던 것입니다. r은 n과 같다 라는 것 말입니다. 완전한 행 차수와 관련 된 것입니다. 지금 저는 m이 n 보다 더 작다 라는 경우를 원하는 것입니다. 그리고 저는 여분의 행을 구하고자 하는 것입니다. 네 . 자 이제 해 봅시다. 그래서 이 것은 지금 완전한 열 차수의 경우입니다. 그리고 그 것은 I F처럼 보이는 것입니다. 제가 그 피벗 행이 첫 번째 행이라는 것을 확신 할 수 없는 것을 제외 하고 말입니다. 그래서 그 I 그리고 그 F는 부분적으로 I로 섞이게 되는 것입니다. 제가 그 것은 그냥 그 것과 같이 쓸 수 있나요? 그래서 F는 I의 부분의 종류가 될 수 있는 것입니다. 만약 그 첫 번째 행이 피벗 행에 대한 것이 아니라면 말입니다. 지금 얼마나 많은 해가 이 경우 있게 되는 것인가요? 그 것은 항상 해가 있는 것입니다.  
이 것은 존재 하는 경우입니다. 그 것은 항상 해결 책입니다. 우리는 어떤 0 열을 구하지 않는 것입니다. 그 것은 여기 0 열이 없는 것입니다. 그래서 그 것은 항상 하나 또는 무한히 많은 해입니다. 네. 사실 저는 생각 하기에 그 것은 항상 무한한 수가 있다고 생각합니다. 왜냐면 그 이유는 우리는 항상 몇 몇 다룰 영공간을 가지고 있는 것이기 때문입니다. 
그 다음 마지막 경우는 r이 m 보다 더 작은 것 그리고 n 보다 더 작은 것입니다. 네. 지금 그 것은 R이 역시 몇 몇 0 행이지만 몇 몇 자유 항목과 관련 된 단위 행렬의 경우인 것입니다. 그리고 그 것은 그 곳에 어느 압도 없는 경우입니다. 왜냐면 그 이유는 우리는 몇 몇 b에 대해 혹은 무한히 많은 해에 대해 0은 0과 같다 라는 것을 얻지 않았기 때문입니다. 네. 여러분은 이 칠판은 정말 이 강의를 요약 한 것입니다. 그리고 이 문장은 이 강의를 요약 한 것입니다. 
그 차수는 여러 분께 그 숫자의 해에 대한 모든 것을 말 해 주는 것입니다. 차수 r 이라는 그 숫자는 여러분께 모든 정보를 말 해 줄 것입니다. 그 해에 대한 정확한 항목을 제외 하고 말입니다. 
그 것에 대해서 여러분은 그 행렬에 대해 하게 되는 것입니다. 네. 좋습니다.  
좋은 주말 보내세요. 그리고 여러분 월요일에 만나요.  
 
 
 
 
 
 
 

/*출처: 유투브 transcript를 복사하여 편집한 것입니다. 저작권 문제가 걸린다면 지우도록 하겠습니다.*/  
 
 
0:00OK, when the camera says, we'll start. 
0:08You want to give me a signal? OK, this is lecture eight in linear 
0:13algebra, and this is the lecture where we completely solve 
0:19linear equations. So A X equal B. 
0:25That's our goal. I- i- i- If it has a solution. 
0:30It certainly can happen that there is no solution. 
0:35We have to identify that possibility by elimination. 
0:39And then if there is a solution we want to find out is there only one 
0:43solution or are -- is there a whole family of solutions, 
0:48and then find them all. OK. 
0:51Can I use as an example the same matrix that I had last time when we 
0:58were looking for the null space. So the, the matrix has rows one two 
1:05two two, two four six eight, and the third row -- you remember 
1:11the main point was the third row, three six eight ten, is the sum of 
1:17row one plus row two. In other words, 
1:22if I add those left-hand sides, I get the third left-hand side. 
1:27So you can tell me right away what elimination is going to discover 
1:32about the right-hand sides. What's -- there is a condition on B1, 
1:37B2, and B3 for this system to have a solution. 
1:43Most s- cases -- if I took these numbers to be one, 
1:48five, and seventeen, there would not be a solution. 
1:52In fact, if I took those first numbers to be one and five, 
1:58w- w- what is the only B3 that would be OK? 
2:03Six. If the left-hand -- 
2:06if the -- if these left-hand sides add up to that, 
2:10then B -- I need B1 plus B2 to equal B3. 
2:14Let's, let's just see how elimination discovers that. 
2:18But, but we can see it coming, right? 
2:20That, that if, if -- let me say it in other words. 
2:25If some combination on the left-hand side gives all zeros then the same 
2:30combination on the right-hand side must give zero. 
2:34OK. So let's, uh, 
2:38let me take that example and write down instead of copying out all the 
2:43plus signs, let me write down the matrix. 
2:48One two two two, two four six eight, 
2:54and that six three eight ten, where the third row is the sum of 
2:59the first two rows. Now how do we deal with 
3:04the right-hand side? That's -- wi- we want to do the same 
3:07thing to the right-hand side that we're doing to these rows on the 
3:11left side, so we just tack on the right-hand 
3:15side as another vector, another column. 
3:19So this is the augmented matrix. It's, it's the matrix A with the 
3:31vector B tacked on. In Matlab, that's all you 
3:36would need to type. OK. 
3:38So we do elimination on that. Can we just do elimination quickly? 
3:42The first pivot is fine, I subtract two of this away from 
3:48this, three of this away from this, so I have one two two two B1. 
3:54Two of those away will give me zero zero two and four, and that 
4:00was B2 minus two B1. I, I have to do the same thing to 
4:05that third, that last column. And then three of these away from 
4:11this gave me zero zero two four B3 minus three B1s. 
4:17So that's the, that's elimination with the first 
4:22column completed. We move on. 
4:26There's the first pivot still. Here is the second pivot. 
4:30We're always remembering, now, these are then going to be the 
4:37pivot columns. And let me get the final result -- 
4:44well, let me -- can I, can I, do it by eraser? 
4:53We're capable of subtracting this row from this row, 
4:59just by -- that'll knock this out completely and give me the row of 
5:05zeros, and on the right-hand side, when I subtract this away from this, 
5:11what do I have? I think I have B3 minus a B2, 
5:18and I had minus three B1s. This is going to, it's going 
5:23to be a minus a B1. Oh yethat's exactly 
5:27what I expect. So now the -- what's 
5:31the last equation? The last equation, 
5:35th- th- th- this represented by this zero row, that last equation is, 
5:40says zero equals B3 minus B2 minus B1. 
5:45So that's the condition for solvability. 
5:50That's the condition on the right-hand side that we expected. 
5:53It says that B1 plus B2 has to match B3, and if our numbers happen to 
5:58have been one, five, and six -- 
6:02so let me take, suppose B is one five six. 
6:06That's an OK B. And when I do this elimination, 
6:10what will I have? The B1 will still be a one. 
6:14B2 would be five minus two, this would be a three. 
6:19Five -- my six minus five minus one, this will be -- this is the main 
6:23point -- this will be a zero, thanks. 
6:27OK. So the last equation is OK now. 
6:35And I can proceed to solve the two equations that are really there with 
6:40four unknowns. OK, I, I, I want to do that, 
6:45so this, this B is OK. It allows a solution. 
6:50We're going to be, naturally, interested to keep track 
6:56what are the conditions on B that, that, are re- that, that make 
7:02the equation solvable. So let me put it, 
7:07let, let me write down what we already see before I continue 
7:11to solve it. Let me first -- solvability, 
7:17solvability. So which -- 
7:25so this is the condition on the right-hand sides. 
7:32And what is that condition? This is solvability always 
7:36of A X equal B. So A X equal B is solvable -- 
7:42well, actually, we had an answer in the language of the column space. 
7:51Can you remind me what that answer is? 
7:53That, that was like our answer from earlier lecture. 
7:56B had to be in the column space. Solvable if -- 
8:03when -- exactly when B is in the column space of A. 
8:09Right? That just says that B has to be a 
8:15combination of the columns, and of course that's exactly what 
8:19the equation is looking for. So that, that -- 
8:23now I want to answer it -- the same answer but in different 
8:27language. U- u- u- s- another way to answer 
8:34this, if, if some, if a combination of the rows of A 
8:45gives the zero row, if -- a- and this was an example 
8:53where it happened, some combination of the rows of A 
8:58produced the zero row -- then what's the requirement on B? 
9:02That -- since we're going to do the same thing to both sides of all 
9:07equations, the same combination of the 
9:13components of B has to give zero. Right? 
9:16That's -- so if there's a combination of the rows that gives 
9:24the zero row, then the same combination of the 
9:32entries of B must give zero. And this isn't the zero row, 
9:38that's the zero number. OK. 
9:42The, th- th- this is another way of saying -- a- and it is not immediate, 
9:47right, that these two statements are equivalent. 
9:53But somehow they must be, because they're both equivalent to 
9:56the solvability of the system. OK. 
9:59So we've got this, this sort of -- like question zero 
10:04is, does the system have a solution? OK, I'll come back to 
10:09discuss that further. Let's go forward when it does. 
10:16When there is a solution. And so what's our job now? 
10:21Abstractly we sit back and we say, OK, there's a solution, finished. 
10:25It exists. But we want to construct it. 
10:28So what's the algorithm, the str- the, the sequence of steps 
10:33to find the solution? That's what I -- 
10:38and, and of course the quiz and the final, I'm going to give you a 
10:42system A X equal B and I'm going to ask you for the solution, 
10:45i- if there is one. And s- so, 
10:49so this algorithm that you want to follow. 
10:53OK, let's see. So what's the -- 
11:01so now to find the complete solution to A X equal B. 
11:11OK. Let me start by finding one solution, 
11:16one particular solution. I'm expecting that I can, 
11:23because my system of equations now, that last equation is zero equals 
11:29zero, so that's all fine. I really have two equations -- 
11:35actually I've got four unknowns, so I'm expecting to find not only a 
11:40solution but a whole bunch of them. But let's just find one. 
11:45So step one, a particular solution, X particular. 
11:52How do I find one particular solution? 
11:56Well, let me tell you how I, how I find it. 
12:00So this is -- since, since there are lots of 
12:02solutions, you could have your own way to find 
12:05a particular one. But thi- this is a pretty 
12:08natural way. Set all free variables to zero. 
12:19Since those free variables are the guys that can be anything, 
12:25the most convenient choice is zero. And then solve A X equals B for the 
12:33pivot variables. So what does that mean 
12:41in this example? Which are the free variables? 
12:45Which, which are the variables that we can assign freely and then, 
12:49and then there's one and only one way to find the pivot variables? 
12:53They're X2 and -- so X2 is zero, because that's in a 
12:58column without a pivot, the second column has no pivot. 
13:03And the -- what's the other one? The fourth, X4 is zero. 
13:10Because that, those are the, the free ones. 
13:14Those are in the columns with no pivots. 
13:18So you see what my -- so when I knock -- 
13:22when X2 and X4 are zero, I'm left with the -- th- w- what am 
13:27I left with here? I'm just left with -- 
13:32see, now I'm not using the two free columns. 
13:36I'm only using the pivot columns. So I'm really left with X1 -- 
13:41the first equation is just X1 and two X3s should be the right-hand 
13:47side, which we picked to be a one. And the second equation is two X3s, 
13:53as it happened, turned out to be, uh, three. 
14:00I bd- I just write it again here with the X2 and the X4 knocked out, 
14:05since we're set them to zero. And you see that we- we're back in 
14:10the n- normal case of having back -- where back substitution'll do it. 
14:15So X3 is three halves, and then we go back up and X1 is one 
14:21minus two X3. That's probably minus two. 
14:27Good. So now we have the solution, 
14:33X particular is the vector minus two zero three halves zero. 
14:42OK, good. That's one particular solution, 
14:48and we should and could plug it into the original system. 
14:53Th- really if -- on the quiz, please, 
14:56it's a good thing to do. Just a- so we did all this, 
15:00these, row operations, but this is supposed to solve the original 
15:05system, and I think it does. OK. 
15:09So that's X particular which we've got. 
15:13So i- i- i- i- that's like what's new today. 
15:18The particular solution comes -- first you check that you have zero 
15:22equals zero, so you're OK on the last equations. 
15:27And then you set the free variables to zero, solve for the pivot 
15:31variables, and you've got a particular solution, 
15:35the particular solution that has zero free variables. 
15:40OK. Now -- but that's only one solution, 
15:44and now I'm looking for all. So how do I find the rest? 
15:50The point is I can add on to -- add on X -- anything out of the null 
15:58space. We know how to find the vectors in 
16:03the null space, because we did it last time, 
16:06but I'll rema- remind you what we got. 
16:09And then I'll add. So the final result will be that the 
16:17complete solution -- this is now the complete guy -- 
16:23the complete solution is this one particular solution plus any, 
16:29any vector, all different vectors out of the null space. 
16:35X N, OK. Well why, why this pattern, 
16:40because this pattern shows up through all of mathematics, 
16:44because it shows up everywhere we have linear equations. 
16:47Let me just put here the, the reason. 
16:50A X P, so that's X particular, so what does A X particular give? 
17:00That gives the correct right-hand side B. 
17:04And what does A times an X in the null space give? 
17:09Zero. So I add, and I put in parentheses. 
17:17So X P plus X N is B plus zero, which is B. 
17:24So -- oh, what am I saying? Let me just say it in words. 
17:29If I have one solution, one solution, I can add on anything 
17:33in the null space, because anything in the null space 
17:38has a zero right-hand side, and, and I still have the correct 
17:43right-hand side B. So that's my system. 
17:47That's my complete solution. Now let me write out what that will 
17:51be for this example. So, so this example, 
17:56in this example, X per- X general, X complete, the complete solution, 
18:02is X particular, which is minus two zero three halves 
18:08zero, with those zeroes in the free variable, plus -- 
18:15you remember there were the special solutions in the null space that had 
18:18a one in the free variables -- or, or, one and zero in the free 
18:21variables, and then we filled in to find the 
18:24others? I've forgotten what they were, 
18:28but maybe it was that. That was a special solution, 
18:33and then there was another special solution that had that free variable 
18:39zero and this free variable equal one, and I have to fill those in. 
18:44Let's see, can I remember how those fill in? 
18:47Maybe this was a minus two and this was a two, possibly? 
18:52I think probably that's right. I'm not -- yeah. 
18:58Two min- hmm. Does that look write to you? 
19:04I would have to remember what are my equations. 
19:07Ca- uh- can I, rather than go way back to that 
19:11board, let me remember the first equation was two X3 plus two X4 
19:15equaling zero now, because I'm looking for the guys in 
19:19the null space. So I set X4 to be one and the second 
19:24equation, that I didn't copy again, gave me minus two for this and then -- 
19:30yeso I think that's right. Two minus four and two 
19:36gives zero, check. OK. 
19:40Those were the special solutions. What do we do to get the 
19:45complete solution? How do I get the complete 
19:49solution now? I multiply this by anything, 
19:54C1, say, and I multiply this by anything -- I take any combination. 
19:59Y- remember that's how we described the null space? 
20:03The null space consists of all combinations of -- 
20:08so this is X N -- all combinations of the special solutions. 
20:14There were two special solutions because there were two 
20:17free variables. And we want to make that count, 
20:22com- se- carefully now. B- just while I'm up here. 
20:27So there's, that's what the -- 
20:28that's the kind of answer I'm looking for. 
20:30Is there a constant multiplying this guy? 
20:33Is there a free constant that multiplies X particular? 
20:37No way. Right? 
20:40X particular solves A X P equal B. I'm not allowed to multiply 
20:45that by three. But A X N, 
20:48I'm allowed to multiply X N by three, or add to another X N, 
20:51because I keep getting zero on the right. 
20:55OK. So, so again, X P is 
20:58one particular guy. X N is a whole subspace. 
21:03Right? It's one guy plus, plus anything 
21:06from a subspace. Let me draw it. 
21:09Let me, let me try to -- oh. I want to draw, 
21:16I want to graph all this -- graph,-- I want to, I want to 
21:21plot all solutions. Now X. 
21:28So what dimension am I in? This is a unfortunate point. 
21:34How many components does X have? Four. 
21:37There are four unknowns. So I have to draw a four dimensional 
21:42picture on this MIT cheap blackboard. 
21:47OK. So here we go. 
21:50X1 -- Einstein could do it, but, this, this is -- th- those 
21:58are four perpendicular axes in -- representing four dimensional space. 
22:07OK. Where are my solutions? 
22:11Do my solutions form a subspace? Duh- duh- does the set of solutions 
22:17to A X equal B form a subspace? No way. 
22:20What does it actually look like, though? 
22:23Ther- a subspace is in this picture. This part is a subspace, right? 
22:29That part is some, like, two dimensional, 
22:33because I've got two parameters, so it's -- I- I'm thinking of this 
22:37null space as a two dimensional subspace inside R4. 
22:42Now I have to tell you and will tell you pr- next time, 
22:46what does it mean to say a subspace, what's the dimension of a subspace. 
22:49But you see what it's going to be. It's the number of free independent 
22:55constants that we can choose. So somehow there'll be a two 
23:00dimensional subspace, not a line, and not a three 
23:05dimensional plane, but only a two dimensional guy. 
23:09But it's doesn't go through the origin because it goes 
23:13through this point. So there's X particular. 
23:16X particular is somewhere here. X particular. 
23:20So it's somehow a subspace -- can I try to draw it that way? 
23:27It's a two dimensional subspace that goes through X particular and then 
23:33onwards by -- so there's X particular, 
23:39and I added on X N, and there's X. There's X equal X P plus X N. 
23:47But the X N was anywhere in this subspace, so that filled 
23:52out a plane. It's, it's a, 
23:56it's a subspace -- it's not a subspace, 
23:59what am I saying? It's, it's, 
24:02it's like a flat thing, it's like a subspace, but it's been 
24:05shifted, away from the origin. It doesn't contain zero. 
24:09OK. Thanks. 
24:12That's the picture, and that's the algorithm. 
24:15So the algorithm is just go through elimination and, 
24:20find the particular solution, and then find those special 
24:24solutions. Y- y- y- you can do that. 
24:28Let me take our time here in the lecture to think, about 
24:34the bigger picture. So let me think about, 
24:41uh -- so this, this is my pattern. Now I want to think -- 
24:47I want to ask you, uh, about a question -- I, I want to ask 
24:53you some questions. So when I mean think bigger, 
25:01I mean I'll think about an M by N matrix A of rank R. 
25:11OK. What's our definition of rank? 
25:16Our current definition of rank is number of pivots. 
25:21OK. First of all, how are these 
25:24numbers related? Can you tell me a relation 
25:27between R and M? If I have M rows in the matrix and R 
25:33pivots, then I certainly know, I know, always, what, what relation 
25:41do I know between R and M? R is less or equal, right? 
25:48Because I've got M rows, I can't have more than M pivots, 
25:52I might have M and I might have fewer. 
25:55Also, I've got N columns. So what's the relation 
26:02between R and N? It's the same, 
26:06less or equal, because a column can't have more than one pivot. 
26:12So I can't have more than N pivots altogether. 
26:16OK, OK. So I have an M by N 
26:19matrix of rank R. And I always know R less than or 
26:22equal to M, R less than or equal to N. 
26:25Now I'm specially interested in the case of full rank, 
26:30when the rank R is as big as it can be. 
26:34Well, I guess I've got two separate possibilities here, 
26:39depending on what these numbers M and N are. 
26:43So let me talk about the case of full column rank. 
26:51And by that I mean -- means R equal N. 
27:00And I want to ask you, what's, what does that imply about 
27:07our solutions? What does that tell us 
27:12about the null space? What does that tell us about, 
27:16the, the gen- the complete solution? 
27:20OK, so what does that mean? So I, I want to ask you, 
27:25well, OK, if the rank is N, what does that mean? 
27:31That means there's a pivot in every column. 
27:34So how many pivot variables are there? 
27:39N. All the columns have 
27:42pivots in this case. So how many free variables 
27:45are there? None at all. 
27:49So no free variables. R equal N, no free variables. 
27:56So what does that tell us about what's going to happen then in our, 
28:00in our little algorithms? What will, what will be 
28:04in the null space? The null space of A 
28:09has got what in it? Only the zero vector. 
28:14There are no free variables to give other values to. 
28:19So the null space is only the zero vector. 
28:28And what about our solution to A X equal B? 
28:32Solution to A X equal B? What, what's the story on that one? 
28:40So now that's coming from today's lecture. 
28:45The solution X is -- what's the complete solution? 
28:54It's just X particular, right? If, if, if there is an X, 
29:00if there is a solution. It's X equal X particular. 
29:04There's nothing -- y- you know, there's just one 
29:06solution. I- If there's one at all. 
29:10So it's unique solution -- unique means only one -- unique 
29:20solution if it exists, if it exists. In other words, 
29:26I would say -- let me put it a different way. 
29:29There're either zero or one solutions. 
29:37This is all in this case R equal N. So I'm -- because many, 
29:46many applications in reality, the columns will be, will -- 
29:51w- w- will be what I'll l- later call independent. 
29:57And we'll have, nothing to look for in the null 
30:01space, and we'll only have particular solutions. 
30:06OK. Everybody see that po- possibility? 
30:11I- i- i- but I need an example, right? 
30:14So let me create an example. What sort of a matrix -- 
30:19what's the shape of a matrix that has full column rank? 
30:24So can I squeeze in a- an, an example here? 
30:28If it exists. Let me put in an example, 
30:35and a- it's just the right space to put in an example. 
30:39Because the example will be like tall and thin. 
30:44It will have -- well, I mean, here's an example, 
30:51one two six five, three one one one. Brilliant example. 
30:55OK. So there's a matrix A, 
31:00and what's its rank? What's the rank of that matrix? 
31:08How many pivots will I find if I do elimination? 
31:13Two, right? Two. 
31:15I see a pivot there -- oh- i- i- i- certainly those two 
31:20columns are headed off in different directions. 
31:25When I do elimination, I'll certainly get another pivot 
31:28here, fine, and I can use those to clean out u- 
31:32u- below and above. So the -- actually, 
31:37tell me what its row reduced -- reduced row echelon form would be. 
31:44Can you carry that, that elimination process to the 
31:48bitter end? So what do, what does that mean? 
31:53I subtract a multiple of this row from these rows. 
31:57So I clean up, all zeros there. Then I've got some pivot here. 
32:01What do I do with that? I go subtract it below and above, 
32:05and then I divide through, and what's the, w- what's 
32:09R for that example? Maybe I can -- 
32:12you'll allow me to put that just here in the next board. 
32:15What's the row reduced echelon form, just out of practice, for that 
32:20matrix? It's got ones in the pivots. 
32:28It's got the identity matrix, a little two by two identity matrix, 
32:33and below it all zeros. That's a matrix that really has two 
32:38independent rows, and they're the first two, 
32:42actually. The first two rows are independent. 
32:46They're not in the same direction. But the other rows are combinations 
32:50of the first two, so -- so, u- u- uh, 
32:54is there always a solution to A X equal B? 
32:59Du- tell me what's the picture here? For this matrix A, 
33:03this is a case of full column rank. The two columns are 
33:08-- give two pivots. There's nothing in the null space. 
33:12There's no combination of those columns that gives the zero column 
33:18except the zero zero combination. So there's nothing 
33:22in the null space. But is there always a solution 
33:26to A X equal B? What's up with A X equal B? 
33:32I've got four, four equations here, 
33:35and only two Xs. So the answer is certainly no. 
33:41There's not always a solution. If ther- so I, 
33:45I may have zero solutions, and if I make a random choice, 
33:49I'll have zero solutions. Or if I make a great particular 
33:52choice of the right-hand side, which just happens to be a 
33:56combination of those two guys -- like tell me one right-hand side 
34:00that would have a solution. Tell me a right-hand side that would 
34:04have a solution. Well, zero zero zero zero, OK. 
34:09No prize for that one. Tell me another one. 
34:13Another right-hand side that has a solution would be four 
34:16three seven six. I could add the two columns. 
34:20Right? What would be the total complete 
34:23solution if the right-hand side was four three seven six? 
34:27There would be the particular solution one one, 
34:30one of that column plus one of that, and that would be the only 
34:34solution. So there would be -- 
34:38X particular would be one one in the case when the right side is the sum 
34:43of those two columns, and that's it. So that would be a case 
34:47with one solution. OK. 
34:50That, this is the typical setup with full column rank. 
34:54Now I go to full row rank. You see the sort of natural symmetry 
35:00of this discussion. Full row rank means R equal M. 
35:15So this is what I'm interested in now, R equal M. 
35:21OK, what's up with that? How many pivots? 
35:30M. So what happens when we do 
35:35elimination in that case? I'm going to get M pivots. 
35:41So every row has a pivot, right? Every row has a pivot. 
35:50Then what about solvability? What about this business of -- 
35:56for which right-hand sides can I solve it? 
36:00So that's my question. I can solve A X equal B for which 
36:07right-hand sides? For -- do you see what's coming? 
36:17I do elimination, I don't get any zero rows. 
36:23So there aren't any requirements on B. 
36:26I can solve A X equ- equal B for every B. 
36:34I can solve A X equal B for every right-hand side. 
36:39So this is the existence, exists a solution. 
36:47Now tell me, so the, u- u- so every row has a 
36:53pivot in it. So how many free variables 
36:57are there? How many free variables 
37:01in this case? If I had N variables a- to start 
37:05with, how many are used up by pivot variables? 
37:10R, which is M. So I'm left with, 
37:21left with N minus R free variables. OK. 
37:31So this case of full row rank I can always solve, 
37:35and then this tells me how many variables are free, 
37:40and this is of course N minus M. This is N minus M free variables. 
37:47Can I do an example? You know, the best way for me to do 
37:52an example is just to transpose that example. 
37:56So let me take, let me take that matrix that had 
38:00column one two six five and make it a row. 
38:04And let me take three one one one as the second row. 
38:10And let me ask you, this is my matrix A, 
38:14what's its rank? What's the rank of that matrix? 
38:19Sorry to ask, but not sorry really, 
38:23because, because we're just getting the idea of rank. 
38:26What's the rank of that matrix? Two, exactly, two. 
38:29There will be two pivots. What will the row reduced 
38:34echelon form be? Anybody know that one? 
38:37Actually, tell me not only -- you have to tell me not only the, 
38:41there'll be two pivots but which will be the pivot columns. 
38:45Which columns of this matrix will be pivot columns? 
38:49So the first column is fine, and then I go on to the next column, 
38:53and what do I get? Do I get a second pivot out of, 
38:56do- will I get a second pivot in this position? 
38:59Yes. So the pivots, 
39:02when I get all the way to R, will be there. 
39:05And here will be some numbers. I, a- a- a- a- this is the part that 
39:14I previously called F. This is the part that -- 
39:19so the, the here -- the pivot columns in R will be 
39:22the identity matrix. There are no zero rows, 
39:26no zero rows, because the rank is two. 
39:30But there'll be stuff over here. And that will, 
39:35enter the special solutions and the null space. 
39:41OK. So this is a typical m- matrix with 
39:46R equal M smaller than N. Now finally I've got a space here 
39:55for R equal M equal N. I'm off in the corner here with the 
40:02most important case of all. So what's up with this matrix? 
40:07So let me give an example. OK, brilliant example, 
40:14one two three one. Tell me what -- 
40:20how do I describe a matrix that has rank R equal M equal N? 
40:26So the matrix is square, right, it's a square matrix. 
40:31And if I know its rank is -- it's full rank, now. 
40:35I don't have to say full column rank or full row rank, 
40:39I just say full rank, because the count, column count and 
40:43the row count are the same, and the rank is as big as it can be. 
40:48And what kind of a matrix have I got? 
40:52It's invertible. So that's exactly the 
40:57invertible matrices. R equal M equal N means the -- 
41:02wh- and what's the row echelon form, the, the reduced row echelon form, 
41:07for an invertible matrix? For a square, nice, square, 
41:11invertible matrix? It's I. 
41:15Right. So i- i- i- i- i- i- y- you see that 
41:21the, the good matrices are the ones that kind of come out 
41:27trivially in R. You reduce them all the way to the 
41:31identity matrix. What's the null space for 
41:35this, for this matrix? Can I just hammer away with 
41:38m- m- m- questions? What's the null space 
41:42for this matrix? The null space of that matrix is the 
41:47zero vector only. The zero vector only. 
41:53What are the conditions to solve A X equal B? 
41:57Which right-hand sides B are OK? If I want to solve A X equal B for 
42:03this example, so I -- A is this, 
42:08B is B1 B2, what are the conditions on B1 and B2? 
42:13None at all, right. So this is the case, 
42:18this is the case where I can solve -- so I've coming back here, I can -- 
42:22u- u- since the rank equals M, I can solve for every B. 
42:27And since the rank is also N, there's a unique solution. 
42:32Let me summarize the whole picture here. 
42:37Here's the whole picture. I could have R equal M equal N. 
42:44This is the case where this is the identity matrix. 
42:49And this is the case where there is one solution. 
42:55That's the square invertible chapter two case. 
43:00Now we're into chapter three. We could have R equal 
43:06M smaller than N. Now that's what we had over there, 
43:13and the row echelon form looked like the identity with some zero rows. 
43:20And that was the case where there are zero or one solution. 
43:29To -- I'm a -- when I say solution I mean to A X 
43:33equal B. So this case, there's always one. 
43:39This case there's zero or one. And now let me take the case of full 
43:45column rank, but some, extra rows. 
43:54So now R has -- well, the identity -- 
44:02i- i- i- i- I'm almost tempted to write the identity matrix and then F, 
44:11but that isn't necessarily right. I have, I have -- is that right? 
44:18Am I -- sorry, am I, am I getting this correct here? 
44:22R -- oh, I'm s- I'm not! My God! 
44:25This is the case R equals N, the columns, the columns are, 
44:31are OK. That's the case that was on that 
44:35board, R equal N, full column rank. Now I want the case where M is 
44:40smaller than N and I've got extra columns. 
44:45OK. There we go. 
44:51So this is now the case of full row rank, and it looks like I F except 
44:58that th- th- th- th- I can't be sure that the pivot columns 
45:04are the first columns. So the I and the F, 
45:09the F could be partly mixed into the I. 
45:12Can I, can I write that with just like that? 
45:17So the, the, the F could be sort of partly i- i- 
45:21into the I if, if, if the first columns weren't the 
45:25pivot columns. Now how many solutions in this case? 
45:30There's always a solution. This is the existence case. 
45:35There's always a solution. We're not getting any zero rows. 
45:38There are no zero rows here. So there's always either one or 
45:44infinitely many solutions. OK. 
45:51Actually, I guess there's always an infinite number, 
45:56because we always have some null space to deal with. 
46:02Then the final case is where R is smaller than M and smaller than N. 
46:07OK. Now that's the case where R is the 
46:12identity with some free stuff but ther- with some zero rows too. 
46:18And that's the case where there's either no solution, 
46:25because we didn't get a zero equals zero for some Bs, or infinitely 
46:32many solutions. OK. 
46:37Do you, d- u- u- u- w- th- this board really summarizes the lecture, 
46:42and this sentence summarizes the lecture. 
46:46The rank tells you everything about the number of solutions. 
46:53The- that number, the rank R, tells you all the 
46:57information except the exact entries in the solutions. 
47:01For that you go to the matrix. OK, good. 
47:04Have a great weekend, and I'll see you on Monday.