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총정리 (Final Course Review)
[정규강의] 선형대수학 (Linear Algebra) 35강/총35강
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강의소개 

이번 강의에서 다루는 놀라울 정도로 어려운 질문에 답하기 위해서는 선형대수학 강좌의 첫 부분에서 배웠던 '쉬운' 부분들도 쓸모가 있다. 강좌에서 배운 개념들을 총정리한다.
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네. 좋아요. 
이 번 가을에 MIT에서 선형 대수의 마지막 수업은 전체 과정을 복습 하는 것입니다. 그리고, 여러 분이 아시겠지만 제가 알고 있는 복습 하는 방법 중 가장 좋은 방법은 전에 보았던 시험을 다시 한 번 보면서 문제를 통해 생각 하는 것입니다. 따라서 다음 주 목요일에 볼 시험은 세 시간 동안의 시험이 될 것입니다. 어느 누구도 목요일 전에 시험을 볼 수 없습니다. 목요일 다음에 몇 몇 다른 방법으로 시험을 볼 필요가 있는 학생 분은 다음 주 월요일에 저를 보도록 해야 합니다. 저는 월요일에 제 사무실에 있을 것입니다. 
네. 제가 몇 몇 문제를 그냥 읽어도 되나요 그리고 이 칠판을 아래로 내려서 그리고 시작 하도록 합시다. 네. 여기 질문입니다. 이 것은 3의 n 제곱 행렬에 대한 것입니다. 
그리고 우리는 주어진 그래서 주어진 Ax는 100과 같다 라는 것에는 해결 방법이 없는 것입니다. 그리고 우리는 또한 주어진 Ax는 010과 같다 라는 것이 정확히 하나의 해결 방법을 가지고 있다는 것을 압니다. 네.  
그래서 여러 분은 아마도 처음으로 질문을 미리 예상 할 수 있습니다, 제게 m에 대해 무엇을 말 해 줄 수 있으신가요? 언제나 그렇듯이 그 것은 m의 n 제곱 행렬의 순위 r입니다. 여러 분은 제게 이 세 숫자에 대해 무엇을 말 해 줄 수 있나요? 그래서 제게 여러 분은 m에 대해 그리고 열의 숫자 n에 대해 그리고 행의 숫자 r에 대해 그리고 순위에 대해 무엇을 말 해 줄 수 있나요? 네. 
음 여러 분은 제가 m이 무엇 인가에 대해 첫 번째로 우선 말 하기를 원하시나요? 이 행렬에 얼마나 많은 열이 있나요? 세 개입니다. 그렇죠? 우리는 n이 무엇 인가에 대해 말 할 수는 없지만 하지만 우리는 확실히 m이 삼 이라는 것을 알 수 있는 것입니다. 네. 그리고 이 것들이 우리에게 무엇을 말 해 주나요? 일단 한 번 그 것을 해 보도록 합시다. 제가 몇 몇 방정식에 대한 해결 방법이 없다는 것을 발견 했을 때 몇 몇 우변에 답이 없다 라는 것 말 이죠. 그 것이 제게 행렬의 순위에 대해 무엇을 말 해 준 것일까요? 이 것은 더 작은 m을 말 하는 것입니다. 그 것이 참인 것 인가요? 만약 그에 대한 해결 방법이 없는 것 이라면 그 것은 저에게 그 행렬의 몇 몇 열이 다른 열과의 혼합이라는 것을 말 해 주는 것인 것 이죠. 왜냐면 그 이유는 만약 제가 모든 열에 피벗을 갖고 있다면 그 다음 저는 확실히 그 체계에 대해 풀 수 있게 되는 것 이기 때문 이죠. 저는 특정한 해결 방법을 가지고 있고 그리고 모든 좋은 재료를 가지고 있습니다. 그래서 해결 방법이 없는 시스템 그 어떤 것이라도 그 것은 제게 r은 m 밑에 반드시 있어야만 한다 라는 것을 말 해 주는 것이 되는 것입니다. 그렇다면 만약 그에 대한 해결 방법이 있는 것일 때는 오직 하나만 있게 되는 것일까요? 그 것은 제게 무엇을 말 해 주는 것입니까? 음 보통 그에 대해 하나의 해결 방법이 있습니다. 그리고 그 다음 우리는 영공간에 어떠한 것이라도 더 할 수 있게 되는 것 이죠. 그래서 이 것은 제게 영공간은 오직 그 것 안에 0 벡터만 가지고 있다 라는 것에 대해 말 해 주게 되는 것입니다. 단지 하나의 해결 방법만 있는 것입니다. 그래서 그 것은 제게 뭘 말해 주나요? 그 영공간은 오직 그 것 안에 제로 벡터만 있는 것일까요? r에서 n의 관계에 대해 그 것은 제게 무엇을 말 해 주는 것이죠? 그 것은 같은 것입니다. 그 행은 독립 적인 것입니다. 그래서 지금 저는 r은 n 과 같다 라는 것 그리고 r은 m 보다 작다 라는 것 그리고 지금 저는 또한 m이 삼 이라는 것을 알게 되었습니다. 그래서 이 것은 정말 제가 아는 것들입니다. n 과 r이 같다 그리고 이 숫자들은 삼 보다 더 작은 것이다. 죄송해요. 네 네 r은 m 보다 더 작은 것입니다. 그리고 n은 물론 마찬가지로 역시 그렇습니다. 그래서 저는 제가 무엇을 말 할 수 있는 가에 대해 이 것은 요약 해 주는 것이 라고 생각 합니다. 사실 제게 행렬을 주지 않는 것은 왜냐하면 그 이유는 제가 종종 이러한 행렬의 예를 요구 하기 때문 이죠. 여러 분은 제게 예제 문제인 행렬 A에 대해 말 해 줄 수 있나요? 그 것은 이 가능성을 보여 주는 것 인가요? 네 그 것은 우변 에 대해 해결 방법이 없는 것입니다. 그러나 그 것은 정확히 이 우변에 대한 해결 방법 하나는 있는 것입니다. 그 것에 대해 그 것을 이렇게 하는 행렬에 대해 제안 하고 싶은 학생 없나요? 음 한 번 봅시다. 제가 이 행 공간 안에서 무슨 벡테를 원하는 것일까요? 저는 0 1 0 이 이 행 공간 안에 있게 되기를 원하는 것입니다. 왜냐면 그 이유는 저는 그 것에 대해 풀 수 있기 때문 이죠. 그래서 자 이제 0 1 0을 이 행 공간에 넣도록 합시다. 사실 저는 바로 이 것에서 멈출 수 있습니다. 그 것은 m은 삼과 같다 라는 그리고 삼 열 그리고 n과 r 양쪽 둘 다 일 순위 일 그리고 일 행에 대한 행렬일 것입니다. 그리고 물론 그 일에 대한 해결 방법은 없는 것입니다. 그래서 그 것은 완전히 이 것이 그런 것처럼 완전히 좋은 것입니다. 혹은 만약 여러 분이 일종의 오직 하나의 행을 갖고 있는 행렬에 대한 편견이 잇다면 저는 이 행을 허용 하도록 할 것입니다. 그래서 다른 답이지만 하지만 똑같이 좋은 이 행으로서 제가 무엇을 포함 할 수 있게 되는 것일까요? 저는 역시 이 벡터를 그 행 공간에 놓아 둘 수 있습니다. 만약 제가 원한다면 말 이죠. 그 것은 r n 2 가 같다는 것의 경우가 되는 것 이요. 그러나 물론 당연히 그에 관한 것은 삼입니다. 그리고 이 백터는 행 공간에 있는 것이 아닙니다. 그래서 이 것은 마치 우리에게 이 모든 것을 행 공간에 대해 그리고 영 공간에 대해 기억 하기를 하게 하는 것 이죠. 자 저는 아마 이 종류의 문제와 관련 된 것에 대해 두 번째 질문을 여러 분에게 하 고 있는 것입니다. 저는 심지어 설명에 대해 맞는 행렬의 예제를 적는 것도 심지어 부탁 했죠. 음 저는 생각 하기에 저는 26년 동안 어느 것도 배운 것 같지 않습니다. 네 이 진술을 모두 하자면 말이죠 그 것은 어느 행렬에 거짓인 것입니다. 그래서 다시 이 것은 주요한 진술인 것입니다. 이 것은 제 행렬에 관한 사실입니다. 이 것은 하나의 예입니다. 그러나 물론 예제 문제를 함으로써 그 것은 이 사실의 몇 몇을 확인 하게 되는 것은 쉽게 될 것입니다. 혹은 사실이 아닌 것에 대해서 말이죠. 자 우리 이 몇 몇 사실에 대해 적어 보도록 해요. 몇 몇 가능한 사실에 대해 말 이죠. 그래서 이 것은 정말 진실 혹은 거짓인 것입니다. 그 계수는 이 것은 한 부분입니다. A transpose의 계수는 A transpose에 대한 계수와 같은 것입니다. 그 것이 진실 인가요? 아니면 아닌 것인가요? 두 번째의 것은 A transpose는 역이 되는 것이 가능 하다는 것입니다. 세 번째 가능할 것 같은 사실은 A transpose는 양의 정의가 된다 라는 것입니다. 그래서 여러 분은 시험 문제에서 제가 이 강의의 다른 부분과 연관 해서 문제를 어떻게 출제 하는 가에 대해 보게 되는 것입니다. 그래서 음 제 의미는 가장 간단한 방법은 그 것을 좋은 예제 문제로써 하는 그 것을 하는 것입니다. 그러나 우리는 심지어 직접 적으로라도 대답 할 수 있는 것입니다. 제가 숫자 이를 첫 번째로 취해 보도록 할 게요. 왜냐면 그 이유는 여러 분도 아는 것처럼 저는 매우 매우 그 행렬을 좋아 합니다. 그리고 그 것이 언제 역이 되는 것 이죠? 언제 이 행렬 A가 transpose 되는 것이죠, 역이 되는 것 말 이죠? 좋은 것은 제가 A의 차수로부터 제가 A transpose를 곱 하게 될 필요 없는 그 A의 차수로부터 제가 말 할 수 있는 것입니다. A transpose (순서의 뒤바꾸는 것)는 역이 되는 것입니다. 음 만약 A가 0 백터를 제외 하고 영공간을 갖고 있다면 그 다음 그 것은 역이 될 수 있는 것입니다. 그러나 미학은 말이죠 만약 A의 영공간이 단지 0 백터 라면 그래서 그 사실 그러니까 핵심 사실은 이 것은 만약 r과 n이 같다는 것을 제가 의미 하기에 A의 독립 적인 행이라는 것 이죠. 행렬 A에서 말 이죠. 만약 r과 n이 같다면 만약 행렬 A는 독립적인 행을 갖는 다면 그 다음 이 것의 A transpose에 대한 것 말 이죠. 이 결합은 제곱이 되는 것 이고 그리고 여전히 같은 영 공간 안에 있게 되는 것입니다. 오직 0 백터, 독립적인 행에 대해서 말입니다. 그리고 또한 진실에 대한 것 그리고 거짓에 대한 것은 무엇 인가요? 이 것은 T 혹은 F에 대한 것이 되나요? 우리는 우리가 두 번째 사실에서 r은 n이었 다는 것을 발견 했습니다. 그래서 이 것은 참 인 것입니다. 그 것은 참 이죠. 그리고 물론 이 예제 문제에서 A transpose는 아마 무엇이 그 행렬에 대해 되게 되는 것일까요? 여러 분은 A transpose를 곱 하기 할 수 있나요? 그리고 여러 분은 그 행렬에 대해 그 것이 무엇 과 같이 보이는 가에 대해 아시나요? 그 것은 무슨 모양 이죠? 그 것은 이 곱 하기 이 행렬 일 것입니다. 그리고 그 것은 무슨 행렬이 되는 것 인가요? 바로 단위 행렬이 되는 것입니다. 그래서 그 것은 확인이 되는 것입니다. 네. 그렇다면 A transpose는 어떤 가요? 음 A의 모양에 따라 그 것은 좋은 것이 될 수 도 있고 아닐 수 도 있는 것입니다. 그 것은 항상 좌우 대칭이 되는 것입니다. 그 것은 항상 제곱이 되는 것입니다. 그러나 그 사이즈는 지금 무엇입니까? 이 것은 n에 의한 삼입니다. 그리고 이 것은 삼에 의한 n이고 그래서 그 결과는 삼 곱 하기 삼의 결과가 되는 것입니다. 그 것은 양의 정의가 되는 것 인가요? 전 그리 생각 하지 않아요. 거짓 인 것입니다. 만약 제가 A transpose를 곱했다면 그렇다면 차수는 어떻게 될 까요? 그 것은 A의 차수와 같은 것이 되는 것입니다. 그 것은 단지 차수 이가 되는 것입니다. 그리고 만약 그 것이 삼 곱 하기 삼이라면 그리고 그 것은 오직 차수 이입니다. 그 것은 확실히 양의 정의가 아닌 것이 되는 것 이죠. 그래서 제가 A transpose에 대해 무엇을 말 할 수 있을까요? 만약 제가 그 것에 대해 참인 어떤 것을 말 한다면 말입니다. 그 것은 그 것이 양의 반 정수가 되는 것은 참인 것입니다. 만약 제가 이 반 한정 수를 만든다면 그 것은 항상 언제나 참이 될 것입니다. 그러나 만약 제가 양의 정수를 찾는 다면 그 다음 저는 무엇이 여기에 있던 간에 영공간을 찾을 것이 되는 것입니다. 그리고 이 경우 그 것은 영공간을 구하게 되는 것 이죠. 그래서 제가 여기 이 것은 알아 내는 것을 우리 같이 해 볼까요? A transpose는 삼 곱하기 삼이 될 것입니다. 그 행렬에 대해서 말 이죠. 만약 제가 A와 A transpose를 곱하기 했다면 첫 번째 열은 어떻게 될 까요? 모두 0이 되는 것입니다. 그렇죠? A transpose의 첫 번째 열은 오직 모두 0이 되는 것입니다. 그래서 그 것은 아마 여기 있는 일 이고 그리고 저기 있는 일이 될 것입니다. 혹은 그러한 것과 같은 종류가 될 것이죠. 그러나 저는 심지어 만약 그 것이 맞는 것인 가에 대해 모릅니다. 그러나 그 것은 모든 0이 그 곳에 있는 것입니다. 그래서 그 것은 물론 양의 한정된 수 가 아닌 것입니다. 이 계수는 어떤 가요? 음 제가 생각 하기에는 그 것은 약간 함정 있는 문제 인 것 같아요. 이 경우 이 것은 참 인가요 아니면 거짓 인가요? 그 것은 거짓 인 것입니다. 명백 하게 말 이죠. 왜냐면 그 이유는 A transpose는 역이 되는 것이기 때문입니다. 우린 단지 이 것에 대해서만 참 이라는 것을 구 하게 된 것입니다. 그리고 우린 거짓을 구하게 된 것이죠 . 우리는 이 것에 대해 서는 역이 가능 하지 않은 것입니다. 그래서 사실 이 것은 거짓입니다. 숫자 일 말이죠. 그 것은 우리에게 놀람을 주는 것입니다. 사실 왜냐면 그 것은 그렇습니다. 전 왜 이 것이 함정이 있는 것인 가에 대해 말을 한 것이었습니다. 왜냐면 계수에 대해 무엇이 참 이 되는 것 인가요? 이 것은 만약 이 행렬이 제곱 이라면 참이 되는 것입니다. 만약 제가 이 제곱의 행렬을 갖고 있다면 A 그리고 다른 행렬 B 말입니다. 그 것은 A transpose가 될 수 있을 것입니다. A는 A B 의 계수와 같은 것입니다. 그러나 만약 행렬이 제곱이 아니라면 그러면 그 것은 사실 참일 것입니다. 그 것이 같다 라는 것에 대해 말입니다. 그 것은 A의 계수 곱 하기 A transpose의 계수를 곱 한 것이 되는 것입니다. 우리는 심지어 그 것을 두 분리 된 계수로 나누는 것을 할 수 있습니다. 그리고 물론 당연히 그 것은 같게 될 것입니다. 그러나 오직 A가 제곱 일 때 만 이죠. 그래서 그 것은 단지 그 행렬이 첫 번째로 제곱이 아니 라는 사실에 대해 나머지와 관련 되는 질문인 것입니다. 네. 이제 한 번 보도록 합시다. 지금 더 물어 보도록 할 게요.  
A transpose (순서가 뒤바뀐 것)가 y가 c와 같다는 것을 증명 해 보세요. 이 문제는 계속 되는 것입니다. 지금 저는 A transpose y와 c가 같다라는 것에 대해 여러분께 물어 보고 있는 것입니다. 그리고 저는 여러분이 그 것이 최소 한 개의 해를 갖는 것이라는 것을 증명 해 보는 것을 원하고 있는 중입니다. 네. 음. 이 것은 그렇게 어려운 것은 없습니다. 그러나 이 것은 약간 그럴 수 도 있습니다. 그래서 우리는 단지 다시 하나 번 생각 해야 만 하는 것입니다. 제가 방정식의 체계를 가질 때 이 것은 이 행렬 A transpose는 지금 n에 의해 삼이 되는 것 대신 이 것은 삼이 되는 것입니다. 그 것은 n 곱 하기 m인 것입니다. 물론 이죠. 그 시스템이 최소 한 개의 해가 있다 라는 것을 보여 주기 위해 이 것이 언제 그러니까 이 체계가 언제 항상 해결 가능 한 것이 되는 것일까요? 그 것은 완전 열 차수를 갖고 있는 것 인데 그 열은 독립 적인 것입니다. 여기 우리는 n 열을 가지고 있습니다. 그리고 그 것은 차수입니다. 그래서 최소 한 개의 해에 대해서 알아 보도록 해야 하는 것 이죠. 왜냐면 그 이유는 transpose에 대해 n인 열의 숫자는 r 차수와 같다는 것이기 때문입니다. 이 A transpose는 독립적인 열입니다. 왜냐면 A는 독립적인 행이기 때문입니다. 네? 그 본래 A는 독립 적인 행을 갖고 있습니다. 우리가 그 것을 순서 바꾸기 했을 때 그 것은 독립 열을 갖는 것이 되는 것 이죠. 그래서 그 것은 최소 한 개의 해가 있게 되는 것입니다. 그러나 지금 심지어 제가 그들이 무한히 많은 해를 가지고 있다 라는 것을 알게 된다면 어떻게 되는 것 인가요? 저는 영공간에 대해 어떤 것을 알고 싶은 것입니다. A transpose의 영공간의 차원은 무엇입니까? 그래서 그 답은 A transpose의 영공간의 차수를 갖게 되는 것입니다. 무엇이 일반적인 사실입니까? 만약 A가 r 차수에 대한 m 곱 하기 n의 행렬이라면 A transpose의 차수는 무엇입니까? A transpose의 영공간이요? 우리의 큰 그림 안에서 그 것이 이렇게 하는 것에 대한 작은 네 번째 부분 공간을 여러 분은 기억 하고 있나요? 그 것은 m 빼기 r 의 차수입니다. 그리고 그 것은 0 보다 더 큰 것입니다. m은 r 보다 더 큰 것입니다. 그래서 그 것은 영공간에 있는 많은 것입니다. 그래서 그 것은 항상 한 개의 해입니다. 왜냐면 그 것은 그 이유는 이 것은 A transpose에 대한 것에 대해 말 하는 것 이기 때문 인 것 이죠. 그래서 A transpose 에 대해 m 그리고 n의 역할은 반대가 되는 것입니다. 물론 당연하게 말이죠. 그래서 저는 이 칠판에 있는 A transpose에 관한 것에 대해 염두 해 두고 있는 것입니다. 그래서 그 것은 transpose의 영공간 인 것입니다. 그리고 그 것은 m 마이너스 r 자유 변이 인 것입니다. 네. 그 것은 마치 약간의 복습을 하는 것과도 같은 것처럼 느껴지네요. 제가 이러한 종류와 관련 있는 또 다른 문제를 취해도 되는 것일까요? 행렬 A가 v1, v2, v3의 세 개의 행을 갖는다는 것을 한 번 가정 해 보세요. 이 것은 행렬의 행인 것입니다. 예. 문제 A입니다. Ax = v1 - v2 + v3를 보고 x가 무엇 인가에 대해 풀어라. 라는 문제입니다.  
그래서 x가 무엇입니까? 일 마이너스 일 일인 것이죠. 감사합니다. 네. 모두들 그 것에 대해 구했죠. 네? 그 다음 다음 문제는 그 결합이 0이 되는 것에 대해 한 번 가정 해 보세요. 그 것이 0 이라고 가정 해 보세요. 그 다음 그 해는 특별 하지 않습니다. 제가 참 또는 거짓을 원하는 것이라고 가정 해 보세요. 그리고 그 것이 제게 무엇을 말 해 주는 가에 대해 보여 주는 것입니다. 그래서 그 것은 분리 된 문제인 것입니다. 아마 저는 그 것을 이렇게 씀으로써 시간을 벌 수 있었습니다. 그러나 그 것은 완전히 분리 된 문제입니다. 만약 제가 행렬을 갖는 다면 그리고 제가 행렬 일 마이너스 행렬 이 더하기 행렬 삼이 0이라는 것에 대해 알고 있다면 그러면 그 해가 특수 해인지 아닌지에 대해 제게 무엇을 말 해 줄 수 있는 것 인가요? 그에 대한 특수함은 무엇 인가요? 특수함에 대한 것은 말이죠. 영공간에 무엇이 있다는 것을 말하는 것이죠.네? 그 해는 특수합니다. 영공간 안에 아무도 없을 때 0 백터를 제외 하고 말 이죠. 그리고 만약 그 것이 0이라면 그 다음 이 것은 영공간 안에 있게 되는 것입니다. 그래서 만약 이 것이 0이라면 그 다음 이 x는 A의 영공간 안에 있게 되는 것입니다. 그래서 해는 결코 특별하지 않습니다. 왜냐면 그 이유는 제가 항상 어느 해와도 그 것을 더 할 수 있기 때문입니다. 그리고 Ax는 변하지 않는 것입니다. 그래서 그 것은 항상 그 질문에 대한 것입니다. 영공간 안에 무엇이 있습니까? 네. 지금 여기 완전히 다른 질문이 있습니다. 이 세 백터 v1, v2, v3가 수직의 관계에 있다는 것을 가정 해 보세요. 그래서 이 것은 수직의 백터에 대해 발생 하지 않게 되는 것입니다. 네 . 그래서 c 부분입니다. b 부분은 잊도록 하세요. 
만약 v1, v2, v3, 수직 관계에 있다면 그 것은 보통 q1, q2, q3 라고 불리게 되는 것입니다. 자. 여기 좋은 질문이 있네요. 만약 제가 저에게 이렇게 물어 본다면 말이죠. v1 그리고 v2의 결합이 v3에 가장 가까운 것 인가에 대해 말입니다. v1 그리고 v2의 평면에 대해 v3가 가장 가까운 포인트가 되는 것인가요? 만약 이 백터가 수직의 관계에 있다면 말이죠. 그래서 제가 그 문제에 대해 제가 그 문장을 시작 하도록 할 게요. 그 다음 어떤 것 곱 하기 v1 더하기 어떤 것 곱 하기 v2의 결합은 v3에 가장 가까운 결합인가요? 0입니다. 네. 우리는 x, y, z 축 그리고 v1 v2 v3 가 표준 기본 토대가 될 수 있을 것이라고 생각 했습니다. x y z 백터 그리고 물론 당연하게 xy 평면에 있는 z 축에 있는 가장 가까운 v3은 0입니다. 그래서 만약 우리가 직교에 대해 있다면 그 다음 평면에서의 v3의 투영은 수직의 관계에 있는 것입니다. 그 것은 0으로 되는 것입니다. 네. 그 것은 빠른 것 같은 것입니다. 쉬운 문제입니다. 그러나 그 것은 여전히 이 것을 이끌어 내는 것입니다. 제가 Markov 행렬을 써도 될까요? 그리고 저는 여러분께 고유 값에 대해 제가 여러 분께 질문 하도록 하겠습니다. 네. 여기 Markov 행렬이 있습니다. 그리고 제게 그 것의 고유 값을 말 해 주세요. 그래서 여기 저는 행렬 A라고 부르는 것을 할 것이니다. 그리고 저는 이 것은 포인트 이 포인트 사 포인트 사 포인트 사 포인트 시 포인트 사 포인트 삼 포인트 삼 포인트 사 라고 부르도로고 하겠습니다. 네. 
그 것은 행 일 더 하기 행 이라는 것을 주목 하는 것을 도와 주는 것입니다. 그 것은 일 행 더 하기 이 행에 대한 흥미로운 것이 있는데 무엇인가요? 그 것은 행 삼 보다 두 배 더 큰 것입니다. 그래서 행 일 더 하기 행 이는 이 곱 하기 행 삼과 같게 되는 것입니다. 저는 그 것을 그 곳에 두었습니다. 행 일 더 하기 행 이는 행 삼의 두 배가 되는 것입니다. 
그 것은 관찰 하는 것입니다. 네. 행렬의 고유 값에 대해 말 해 주세요. 네. 제게 고유 값 하나를 말 해 주세요. 0. 왜냐면 그 이유는 그 행렬은 단일 한 것 이기 때문입니다. 제게 또 다른 하나의 고유 값을 말 해 주시겠어요? 일입니다. 왜냐면 그 것은 Markov 행렬이기 때문입니다. 그 행은 모든 하나의 백터에 대해 더 하는 것입니다. 그리고 그 것은 A transpose의 고유 백터 인 것입니다. 그리고 제게 세 번째 고유 값이 대해 말 해 주겠어요? 음 한 번 봅시다. 포인트 8일 흔적이 옳게 도출 되기 위해서는 우리는 마이너스 포인트 2를 해야 하는 것입니다. 네. 그리고 지금 제가 Markov 과정에 대해 시작 한다고 가정 해 보세요. 제가 u(0)으로 시작 한다 라는 것을 가정 해 보세요. 그래서 저는 u(0)에 적용 되는 A에 대해 살펴 볼 것입니다. 이 것은 uk입니다. 그리고 그 것은 제 행렬입니다. 그리고 저는 u(0)가 되도록 할 것입니다. 그 것은 0 10 0이 될 것입니다. 그리고 제 질문은 그 것은 무엇에 접근 하는 것 인가요? 만약 u(0)이 이 것과 같다면 그 것은 u(0)입니다. 제가 그 것을 여기 써도 되나요? 아마 저 u(0)에 대해 쓸 것입니다. A에서 k입니다. 이 것은 상태 이에 있는 열 사람으로 시작 하는 것입니다. 그리고 매 단계는 Markov 규칙을 따르 는 것입니다. k 단계 후의 해는 무엇처럼 보이는 것입니까? 제가 우리 학생 여러 분게 그 것에 대해 물어 보도록 하겠습니다. 그리고 그 다음 k가 무한대로 가게 될 때 해는 무엇입니까?dl 것은 꾸준한 상태의 문제입니다. 네? 저는 꾸준한 상태를 찾고 있는 것입니다. 사실 wm 질문은 k 단계 답에 대한 질문을 하는 것입니다. 그 것은 단지 무한대로 가는 것입니다. 그러나 어떻게 제가 k 단계 이후로 해를 표현 할 수 있게 되는 것인가요? 이 것은 k 번째 에 대해 첫 번째 고유 값의 약간의 곱 하기인 것입니다. 첫 번째 고유 백터 곱 하기 두 번째 고유 값에 대한 몇 몇 다른 것의 곱을 더하는 것 이죠. 그 것의 고유 백터 곱 하기 그리고 세 번째 고유 값의 몇 몇 곱 하기 그 것의 고유 백터 곱 하기입니다. 네. 그리고 이 것의 고유 값은 0 1 그리고 마이너스 포인트 2입니다. 그래서 무한 대로 가는 k로써 발생하게 되는 것은 무엇입니까? 꾸준 한 상태로 생존 하는 유일 한 것은 그래서 u 무한대는 이 것은 갔습니다. 모든 것은 c2 x2 왼쪽에 있는 것입니다. 그래서 x2는 찾는 것이 더 나은 것입니다. 저는 그 답을 완성 하기 위해 고유 백터 에 대해 찾고자 하는 것입니다. 람다와 일과 같은 그 것에 상응 하는 것은 고유 백터는 무엇입니까? 그 것은 어느 Markov 과정에 있어서 주요 고유 백터가 되는 것입니다. 그 것은 고유 백터인 것입니다. 람다 는 일 과 같다 라는 것은 고유 값인 것입니다. 저는 그 것의 고유 백터 x2가 필요한 것입니다. 그리고 그 다음 저는 그 것 중 얼마나 많은 것을 알 필요가 있는 것입니다. 백터 u0에 대해 시작 하는 것과 관련 해서 말입니다. 네. 그래서 어떻게 제가 그 고유 백터를 찾을 수 있는 것 인가요? 제 생각에 저는 그 것을 대각선으로부터 빼기 했습니다. 네? 그래서 저는 마이너스 포인트 8 마이너스 포인트 6 그리고 나머지 물론 그 것에 대해 여전히 사가 되는 것입니다. 포인트 사 포인트 사 포인트 사 포인트 사 포인트 삼 포인트 삼 그리고 희망적이게도 극 서은 단일의 행렬인 것입니다. 그래서 저는 A 마이너스 lx는 0과 같은 것을 풀기 위해 찾고 있는 것입니다. 여기 누가 그 해에 대해 찾을 수 있나요? 저는 모릅니다. 저는 그 것을 쉽게 만들 수 없습니다. 우리 학생 여러 분은 그 것에 대해 어뗳게 생각 하세요? 그 것에 대해 누가 아는 사람 있나요? 만약 우리가 그 것에 대해 절박하다면 우리는 그 것에 대해 소거를 할 수 있는 것입니다. 
 
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OK. Good. 
 
The final class in linear algebra at MIT this Fall is to review the whole course. And, you know the best way I know how to review is to take old exams and just think through the problems. So it will be a three-hour exam next Thursday. Nobody will be able to take an exam before Thursday, anybody who needs to take it in some different way after Thursday should see me next Monday. I'll be in my office Monday. 
 
OK. May I just read out some problems and, let me bring the board down, and let's start. OK. Here's a question. This is about a 3-by-n matrix. 
 
And we're given -- so we're given -- given -- A x equals 1 0 0 has no solution. And we're also given A x equals 0 1 0 has exactly one solution. OK. 
 
So you can probably anticipate my first question, what can you tell me about m? It's an m-by-n matrix of rank r, as always, what can you tell me about those three numbers? So what can you tell me about m, the number of rows, n, the number of columns, and r, the rank? OK. 
 
See, do you want to tell me first what m is? How many rows in this matrix? Must be three, right? We can't tell what n is, but we can certainly tell that m is three. 
 
OK. And, what do these things tell us? Let's take them one at a time. 
 
When I discover that some equation has no solution, that there's some right-hand side with no answer, what does that tell me about the rank of the matrix? It's smaller m. Is that right? If there is no solution, that tells me that some rows of the matrix are combinations of other rows. 
 
Because if I had a pivot in every row, then I would certainly be able to solve the system. 
 
I would have particular solutions and all the good stuff. So any time that there's a system with no solutions, that tells me that r must be below m. What about the fact that if, when there is a solution, there's only one? What does that tell me? Well, normally there would be one solution, and then we could add in anything in the null space. So this is telling me the null space only has the 0 vector in it. 
 
There's just one solution, period, so what does that tell me? The null space has only the zero vector in it? What does that tell me about the relation of r to n? So this one solution only, that means the null space of the matrix must be just the zero vector, and what does that tell me about r and n? They're equal. The columns are independent. 
 
So I've got, now, r equals n, and r less than m, and now I also know m is three. 
 
So those are really the facts I know. 
 
n=r and those numbers are smaller than three. 
 
Sorry, yes, yes. r is smaller than m, and n, of course, is also. 
 
So I guess this summarizes what we can tell. 
 
In fact, why not give me a matrix -- because I would often ask for an example of such a matrix -- can you give me a matrix A that's an example? That shows this possibility? Exactly, that there's no solution with that right-hand side, but there's exactly one solution with this right-hand side. Anybody want to suggest a matrix that does that? Let's see. What do I -- what vector do I want in the column space? I want zero, one, zero, to be in the column space, because I'm able to solve for that. 
 
So let's put zero, one, zero in the column space. 
 
Actually, I could stop right there. 
 
That would be a matrix with m equal three, three rows, and n and r are both one, rank one, one column, and, of course, there's no solution to that one. So that's perfectly good as it is. Or if you, kind of, have a prejudice against matrices that only have one column, I'll accept a second column. 
 
So what could I include as a second column that would just be a different answer but equally good? I could put this vector in the column space, too, if I wanted.Thatwouldnowbeacasewithr=n=2, but, of course, three m eq- m is still three, and this vector is not in the column space. 
 
So you're -- this is just like prompting us to remember all those things, column space, null space, all that stuff. Now, I probably asked a second question about this type of thing. Ah. OK. 
 
Oh, I even asked, write down an example of a matrix that fits the description. 
 
Hm. I guess I haven't learned anything in twenty-six years. CK. Cross out all statements that are false about any matrix with these -- so again, these are -- this is the preliminary sta- these are the facts about my matrix, this is one example. But, of course, by having an example, it will be easy to check some of these facts, or non-facts. 
 
Let me, let me write down some, facts. 
 
Some possible facts. So this is really true or false. The determinant -- this is part one, the determinant of A transpose A is the same as the determinant of A A transpose. Is that true or not? Second one, A transpose A, is invertible. 
 
Is invertible. Third possible fact, A A transpose is positive definite. 
 
So you see how, on an exam question, I try to connect the different parts of the course. 
 
So, well, I mean, the simplest way would be to try it with that matrix as a good example, but maybe we can answer, even directly. 
 
Let me take number two first. Because I'm -- you know, I'm very, very fond of that matrix, A transpose A. 
 
And when is it invertible? When is the matrix A transpose A, invertible? The great thing is that I can tell from the rank of A that I don't have to multiply out A transpose A. A transpose A, is invertible -- well, if A has a null space other than the zero vector, then it -- it's -- no way it's going to be invertible. But the beauty is, if the null space of A is just the zero vector, so the fact -- the key fact is, this is invertible if r=n, by which I mean, independent columns of A. 
 
In A. In the matrix A. If r=n -- if the matrix A has independent columns, then this combination, A transpose A, is square and still that same null space, only the zero vector, independent columns all good, and so, what's the true/false? Is it -- is this middle one T or F for this, in this setup? Well, we discovered that -- we discovered that -- that r was n, from that second fact. So this is a true. 
 
That's a true. And, of course, A transpose A, in this example, would probably be -- what would A transpose A, be, for that matrix? Can you multiply A transpose A, and see what it looks like for that matrix? What shape would it be? It will be two by two. 
 
And what matrix will it be? The identity. 
 
So, it checks out. OK, what about A A transpose? Well, depending on the shape of A, it could be good or not so good. It's always symmetric, it's always square, but what's the size, now? This is three by n, and this is n by three, so the result is three by three. Is it positive definite? I don't think so. False. 
 
If I multiply that by A transpose, A A transpose, what would the rank be? It would be the same as the rank of A, that's -- it would be just rank two. 
 
And if it's three-by-three, and it's only rank two, it's certainly not positive definite. 
 
So what could I say about A A transpose, if I wanted to, like, say something true about it? It's true that it is positive semi-definite. 
 
If I made this semi-definite, it would always be true, always. But if I'm looking for positive definite, then I'm looking at the null space of whatever's here, and, in this case, it's got a null space. So A, A -- eh, shall we just figure it out, here? A A transpose, for that matrix, will be three-by-three. 
 
If I multiplied A by A transpose, what would the first row be? All zeroes, right? First row of A A transpose, could only be all zeroes, so it's probably a one there and a one there, or something like that. But, I don't even know if that's right. But it's all zeroes there, so it's certainly not positive definite. 
 
Let me not put anything up I'm not sh- don't check. What about this determinant? Oh, well, I guess -- that's a sort of tricky question. Is it true or false in this case? It's false, apparently, because A transpose A, is invertible, we just got a true for this one, and we got a false, we got a z- we got a non-invertible one for this one. So actually, this one is false, number one. That surprises us, actually, because it's, I mean, why was it tricky? Because what is true about determinants? This would be true if those matrices were square. 
 
If I have two square matrices, A and any other matrix B, could be A transpose, could be somebody else's matrix. Then it would be true that the determinant of B A would equal the determinant of A B. 
 
But if the matrices are not square and it would actually be true that it would be equal -- that this would equal the determinant of A times the determinant of A transpose. 
 
We could even split up those two separate determinants. 
 
And, of course, those would be equal. But only when A is square. So that's just, that's a question that rests on the, the falseness rests on the fact that the matrix isn't square in the first place. 
 
OK, good. Let's see. 
 
Oh, now, even asks more. Prove that A transpose y equals c -- hah-God, it's -- this question goes on and on. now I ask you about A transpose y=c. So I'm asking you about the equation -- about the matrix A transpose. And I want you to prove that it has at least one solution -- one solution for every c, every right-hand side c, and, in fact -- in fact, infinitely many solutions for every c. OK. Well, none -- none of this is difficult, but, it's been a little while. So we just have to think again. 
 
When I have a system of equations -- this is -- this matrix A transpose is now, instead of being three by n, it's n by three, it's n by m. 
 
Of course. To show that a system has at least one solution, when does this, when does this system -- when is the system always solvable? When it has full row rank, when the rows are independent. 
 
Here, we have n rows, and that's the rank. 
 
So at least one solution, because the number of rows, which is n, for the transpose, is equal to r, the rank. This A transpose had independent rows because A had independent columns, right? The original A had independent columns, when we transpose it, it has independent rows, so there's at least one solution. 
 
But now, how do I even know that there are infinitely many solutions? Oh, what do I -- I want to know something about the null space. What's the dimension of the null space of A transpose? So the answer has got to be the dimension of the null space of A transpose, what's the general fact? If A is an m by n matrix of rank r, what's the dimension of A transpose? The null space of A transpose? Do you remember that little fourth subspace that's tagging along down in our big picture? It's dimension was m-r. And, that's bigger than zero. 
 
m is bigger than r. So there's a lot in that null space. So there's always one solution because n i- this is speaking about A transpose. 
 
So for A transpose, the roles of m and n are reversed, of course, so I'm -- keep in mind that this board was about A transpose, so the roles -- so it's the null space of a transpose, and there are m-r free variables. OK, that's, like, just some, review. Can I take another problem that's also sort of -- suppose the matrix A has three columns, v1, v2, v3. Those are the columns of the matrix. 
 
All right. Question A. 
 
Solve Ax=v1-v2+v3. Tell me what x is. 
 
Well, there, you're seeing the most -- the one absolutely essential fact about matrix multiplication, how does it work, when we do it a column at a time, the very, very first day, way back in September, we did multiplication a column at a time. 
 
So what's x? Just tell me? One minus one, one. 
 
Thanks. OK. 
 
Everybody's got that. OK? Then the next question is, suppose that combination is zero -- oh, yes, OK, so question (b) says -- part (b) says, suppose this thing is zero. 
 
Suppose that's zero. Then the solution is not unique. Suppose I want true or false. 
 
-- and a reason. Suppose this combination is zero. v1-v2+v3. 
 
Show that -- what does that tell me? So it's a separate question, maybe I sort of saved time by writing it that way, but it's a totally separate question. If I have a matrix, and I know that column one minus column two plus column three is zero, what does that tell me about whether the solution is unique or not? Is there more than one solution? What's uniqueness about? Uniqueness is about, is there anything in the null space, right? The solution is unique when there's nobody in the null space except the zero vector. And, if that's zero, then this guy would be in the null space. 
 
So if this were zero, then this x is in the null space of A. So solutions are never unique, because I could always add that to any solution, and Ax wouldn't change. So it's always that question. 
 
Is there somebody in the null space? OK. Oh, now, here's a totally different question. Suppose those three vectors, v1, v2, v3, are orthonormal. So this isn't going to happen for orthonormal vectors. OK, so part (c), forget part (b). c. 
 
If v1, v2, v3, are orthonormal -- so that I would usually have called them q1, q2, q3. 
 
Now, what combination -- oh, here's a nice question, if I say so myself -- what combination of v1 and v2 is closest to v3? What point on the plane of v1 and v2 is the closest point to v3 if these vectors are orthonormal? So let me -- I'll start the sentence -- then the combination something times v1 plus something times v2 is the closest combination to v3? And what's the answer? What's the closest vector on that plane to v3? Zeroes. 
 
Right. We just imagine the x, y, z axes, the v1, v2, th- v3 could be the standard basis, the x, y, z vectors, and, of course, the point on the xy plane that's closest to v3 on the z axis is zero. 
 
So if we're orthonormal, then the projection of v3 onto that plane is perpendicular, it hits right at zero. 
 
OK, so that's like a quick -- you know, an easy question, but still brings it out. OK. 
 
Let me see what, shall I write down a Markov matrix, and I'll ask you for its eigenvalues. 
 
OK. Here's a Markov matrix -- this -- and, tell me its eigenvalues. So here -- I'll call the matrix A, and I'll call this as point two, point four, point four, point four, point four, point two, point four, point three, point three, point four. OK. 
 
Let's see -- it helps out to notice that column one plus column two -- what's interesting about column one plus column two? It's twice as much as column three. So column one plus column two equals two times column three. I put that in there, column one plus column two equals twice column three. 
 
That's observation. OK. 
 
Tell me the eigenvalues of the matrix. 
 
OK, tell me one eigenvalue? 0. Because the matrix is singular. Tell me another eigenvalue? One, because it's a Markov matrix, the columns add to the all ones vector, and that will be an eigenvector of A transpose. And tell me the third eigenvalue? Let's see, to make the trace come out right, which is point eight, we need minus point two. OK. 
 
And now, suppose I start the Markov process. 
 
Suppose I start with u(0) -- so I'm going to look at the powers of A applied to u(0). This is uk. 
 
And there's my matrix, and I'm going to let u(0) be -- this is going to be zero, ten, zero. 
 
And my question is, what does that approach? If u(0) is equal to this -- there is u(0). 
 
Shall I write it in? Maybe I'll just write in u(0). 
 
A to the k, starting with ten people in state two, and every step follows the Markov rule, what does the solution look like after k steps? Let me just ask you that. And then, what happens as k goes to infinity? This is a steady-state question, right? I'm looking for the steady state. Actually, the question doesn't ask for the k step answer, it just jumps right away to infinity -- but how would I express the solution after k steps? It would be some multiple of the first eigenvalue to the k-th power -- times the first eigenvector, plus some other multiple of the second eigenvalue, times its eigenvector, and some multiple of the third eigenvalue, times its eigenvector. 
 
OK. Good. 
 
And these eigenvalues are zero, one, and minus point two. 
 
So what happens as k goes to infinity? The only thing that survives the steady state -- so at u infinity, this is gone, this is gone, all that's left is c2x2. So I'd better find x2. 
 
I've got to find that eigenvector to complete the answer. What's the eigenvector that corresponds to lambda equal one? That's the key eigenvector in any Markov process, is that eigenvector. 
 
Lambda equal one is an eigenvalue, I need its eigenvector x2, and then I need to know how much of it is in the starting vector u0. 
 
OK. So, how do I find that eigenvector? I guess I subtract one from the diagonal, right? So I have minus point eight, minus point eight, minus point six, and the rest, of course, is just -- still point four, point four, point four, point four, point three, point three, and hopefully, that's a singular matrix, so I'm looking to solve A minus Ix equal zero. 
 
Let's see -- can anybody spot the solution here? I don't know, I didn't make it easy for myself. What do you think there? Maybe those first two entries might be -- oh, no, what do you think? Anybody see it? We could use elimination if we were desperate. 
 
Are we that desperate? Anybody just call out if you see the vector that's in that null space. Eh, there better be a vector in that null space, or I'm quitting. Uh, ha- OK, well, I guess we could use elimination. 
 
I thought maybe somebody might see it from further away. 
 
Is there a chance that these guys are -- could it be that these two are equal and this is whatever it takes, like, something like three, three, two? Would that possibly work? I mean, that's great for this -- no, it's not that great. Three, three, four -- this is, deeper mathematics you're watching now. Three, three, four, is that -- it works! Don't mess with it! It works! Uh, yes. 
 
OK, it works, all right. 
 
And, yes, OK, and, so that's x2, three, three, four, and, how much of that vector is in the starting vector? Well, we could go through a complicated process. 
 
But what's the beauty of Markov things? That the total number of the total population, the sum of these doesn't change. 
 
That the total number of people, they're moving around, but they don't get born or die or get dead. 
 
So there's ten of them at the start, so there's ten of them there, so c2 is actually one, yes. So that would be the correct solution. 
 
OK. That would be the u infinity. 
 
OK. So I used there, in that process, sort of, the main facts about Markov matrices to, to get a jump on the answer. 
 
OK. let's see. 
 
OK, here's some, kind of quick, short questions. Uh, maybe I'll move over to this board, and leave that for the moment. 
 
I'm looking for two-by-two matrices. 
 
And I'll read out the property I want, and you give me an example, or tell me there isn't such a matrix. 
 
All right. Here we go. 
 
First -- so two-by-twos. First, I want the projection onto the line through A equals four minus three. 
 
So it's a one-dimensional projection matrix I'm looking for. And what's the formula for it? What's the formula for the projection matrix P onto a line through A. And then we'd just plug in this particular A. Do you remember that formula? There's an A and an A transpose, and normally we would have an A transpose A inverse in the middle, but here we've just got numbers, so we just divide by it. 
 
And then plug in A and we've got it. OK. So, equals. 
 
You can put in the numbers. Trivial, right. 
 
OK. Number two. 
 
So this is a new problem. The matrix with eigenvalue zero and three and eigenvectors -- well, let me write these down. 
 
eigenvalue zero, eigenvector one, two, eigenvalue three, eigenvector two, one. I'm giving you the eigenvalues and eigenvectors instead of asking for them. 
 
Now I'm asking for the matrix. What's the matrix, then? What's A? Here was a formula, then we just put in some numbers, what's the formula here, into which we'll just put the given numbers? It's the S lambda S inverse, right? So it's S, which is this eigenvector matrix, it's the lambda, which is the eigenvalue matrix, it's the S inverse, whatever that turns out to be, let me just leave it as inverse. That has to be it, right? Because if we went in the other direction, that matrix S would diagonalize A to produce lambda. 
 
So it's S lambda S inverse. Good. 
 
OK, ready for number three. A real matrix that cannot be factored into A -- I'm looking for a matrix A that never could equal B transpose B, for any B. A two-by-two matrix that could not be factored in the form B transpose B. So all you have to do is think, well, what does B transpose B, look like, and then pick something different. What do you suggest? Let's see. What shall we take for a matrix that could not have this form, B transpose B. 
 
Well, what do we know about B transpose B? It's always symmetric. So just give me any non-symmetric matrix, it couldn't possibly have that form. OK. 
 
And let me ask the fourth part of this question -- a matrix that has orthogonal eigenvectors, but it's not symmetric. What matrices have orthogonal eigenvectors, but they're not symmetric matrices? What other families of matrices have orthogonal eigenvectors? We know symmetric matrices do, but others, also. So I'm looking for orthogonal eigenvectors, and, what do you suggest? The matrix could be skew-symmetric. 
 
It could be an orthogonal matrix. 
 
It could be symmetric, but that was too easy, so I ruled that out. It could be skew-symmetric like one minus one, like that. 
 
Or it could be an orthogonal matrix like cosine sine, minus sine, cosine. All those matrices would have complex orthogonal eigenvectors. But they would be orthogonal, and so those examples are fine. OK. 
 
We can continue a little longer if you would like to, with these -- from this exam. From these exams. 
 
Least squares? OK, here's a least squares problem in which, to make life quick, I've given the answer -- it's like Jeopardy!, right? I just give the answer, and you give the question. OK. 
 
Whoops, sorry. Let's see, can I stay over here for the next question? OK. 
 
Least squares. So I'm giving you the problem, one, one, one, zero, one, two, c d equals three, four, one, and that's b, of course, this is Ax=b. And the least squares solution -- Maybe I put c hat d hat to emphasize it's not the true solution. 
 
So the least square solution -- the hats really go here -- is eleven-thirds and minus one. Of course, you could have figured that out in no time. So this year, I'll ask you to do it, probably. 
 
But, suppose we're given the answer, then let's just remember what happened. OK, good question. 
 
What's the projection P of this vector onto the column space of that matrix? So I'll write that question down, one. What is P? The projection. The projection of b onto the column space of A is what? Hopefully, that's what the least squares problem solved. What is it? This was the best solution, it's eleven-thirds times column one, plus -- or rather, minus one times column two. 
 
Right? That's what least squares did. 
 
It found the combination of the columns that was as close as possible to b. That's what least squares was doing. It found the projection. 
 
OK? Secondly, draw the straight line problem that corresponds to this system. 
 
So I guess that the straight line fitting a straight line problem, we kind of recognize. So we recognize, these are the heights, and these are the points, and so at zero, one, two, the heights are three, and at t equal to one, the height is four, one, two, three, four, and at t equal to two, the height is one. So I'm trying to fit the best straight line through those points. 
 
God. I could fit a triangle very well, but, I don't even know which way the best straight line goes. Oh, I do know how it goes, because there's the answer,yes. It has a height eleven-thirds, and it has slope minus one, so it's something like that. OK. Great. Now, finally -- and this completes the course -- find a different vector b, not all zeroes, for which the least square solution would be zero. 
 
So I want you to find a different B so that the least square solution changes to all zeroes. 
 
So tell me what I'm really looking for here. 
 
I'm looking for a b where the best combination of these two columns is the zero combination. So what kind of a vector b I looking for? I'm looking for a vector b that's orthogonal to those columns. 
 
It's orthogonal to those columns, it's orthogonal to the column space, the best possible answer is zero. So a vector b that's orthogonal to those columns -- let's see, maybe one of those minus two of those, and one of those? That would be orthogonal to those columns, and the best vector would be zero, zero. OK. 
 
So that's as many questions as I can do in an hour, but you get three hours, and, let me just say, as I've said by e-mail, thanks very much for your patience as this series of lectures was videotaped, and, thanks for filling out these forms, maybe just leave them on the table up there as you go out -- and above all, thanks for taking the course. 
 
Thank you. Thanks. 
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강의자 길버트 스트랭
제공자 MIT OCW
원본출처 http://youtu.be/RWvi4Vx4CDc
등록자 쪽지
태그 선형 대수학,  방정식,  벡터,  행렬식,  고유치
저작권
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    34강 : 좌,우 역행렬, 의사 역행렬

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