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미분방정식(1): y‘=f(x,y)의 기하학적 관점: 방향장, 적분 곡선 (The Geometrical View of y‘=f(x,y): Direction Fields, Integral Curves)
[정규강의] 미분 방정식 (Differential Equations) 1강/총31강
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강의소개 

전체 31강인 '미분 방적식' 강좌의 1 번째 강의이다. 이번 강의에서는 y‘=f(x,y) 식을 기하학적 관점에서 접근하며 방향장과 적분 곡선에 대해 배운다.

미분 방정식은 우리 주변에 존재하고 있는 자연의 법칙을 설명하는 언어와도 같다. 따라서 미분 방정식의 해법에 관한 사항들을 이해하는 것은 현대 과학과 기술에 대한 근본적인 이해라 할 수 있다. 일반 미분 방정식(ODEs)는 때에 따라 달라지는 변수의 기능에 대해서 다룬다.


* MIT OCW 강의들은 SNOW에 의해서 번역되고 있습니다. MIT대학, MIT대학의 교수진들 및 MIT OCW는 SNOW가 번역한 스크립트를 검토하거나 승인하는 일과는 관계가 없습니다. MIT대학 및 MIT OCW는 SNOW의 번역물에 관련한 보증은 없으며, 상품성에 대한 보증과 특수한 목적, 사용 또는 적용을 위한 적합성 보증 및 모든 다른 의무와 책임을 포함하되 그에 제한되지 않고, 모든 다른 명시적 또는 묵시적 보증을 대체하고 배제합니다. MIT OCW는 번역 오류에 대해 어떠한 책임도 없으며 번역의 부정확함에 따른 어떠한 오류나 결함은 전적으로 MIT OCW가 아닌 SNOW에게 책임이 있다는 것을 명시하는 바입니다. (These MIT OpenCourseWare course materials have been translated into Korean by SNOW. The MIT faculty authors, MIT, or MIT OpenCourseWare have not reviewed or approved these translations, and MIT and MIT OpenCourseWare makes no representations or warranties of any kind concerning the translated materials, express or implied, including, without limitation, warranties of merchantability, fitness for a particular purpose, non-infringement, or the absence of errors, whether or not discoverable. MIT OpenCourseWare bears no responsibility for any inaccuracies in translation. Any inaccuracies or other defects contained in this material, due to inaccuracies in language translation, are the sole responsibility of SNOW and not MIT OpenCourseWare.)

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자, 이제 시작 합니다. 내가 짐작 컨대 A는 어제 설명했고, B는 너희 들이 못 하더라도, 어떻게 변수 분리하는지는 알거야. 그리고 너희들은 simple model을 어떻게 만드는지도 알니까 미분 방정식을 이용 해서 물리 문제 들을 풀 수가 있을 거야. 그래서 고등학교 때 또는 지금 18.01을 배워야 했어. 너희도 알다 시피 이제 본론에 들어가면, 나는 너희들에게 미분방정식이 뭔지 모델링이 뭔지 이야기 해 주지 않아. 이것들이 이해가 안 간다면, 책에 설명이 길고 자세하게 나와 있고 읽어 보는 게 좋을 거야. 그럼 first order ODEs에 대해 이야기 해 보자. 
 
ODE는 두 개의 두문 자어로 쓰여. ODE는 ordinary differential equations라는 뜻이지. MIT학생들은 모두 알겠지 수업을 듣던 안 듣던 간에. 그래서 가장 표준적인 form의 first-order ODEs에 대해 배울 거야, 각각의 x에 대해 y로 미분하여 분리 하고 우리는 the left-hand side에 그리고 the right-hand side에 모든 걸 쓰지. 오늘 모든 걸 다 잘 할 수는 없지. 장담 컨대 앞으로는 더욱 잘 하게 될 거야. 예를 들어, 여러 개 중 오늘은 y' = x / y에 대해 생각 해 보자. 
 
이건 아주 쉬운 거야. The problem set은 y' = x - y^2이야. 그리고 y' = y - x^2도 가지고 있지. 물론 이것을 보면 분리 변수에 의해 풀 수도 있어. 그래서 이것은 풀릴 수 있지. 이건 분리 변수로는 풀리지 않아. 그걸 보면 매우 닮아 있지. 그러나 전혀 달라. 매우 닮아 있지 않다는 것은 다른 하나는 매우 쉽게 풀린다는 거야. 너희가 배우게 되면, 아직 배우지는 않았지만, 다음시간 다음 주 금요일에는 이걸 풀 수 있을 거야. 
 
매우 비슷해 보이는 이건 쉽게 풀리진 않아. 즉, 미분 방정식의 해법에는 있지 않는 elementary functions 으로 너 네가 받아 적은 것으로는 풀리지 않아. 그래서 지금 가장 중요한 사실에 직면해 있어, 아무리 쉬운 미분 방정식이라도 1차 미분만 가지고 있더라도 차근 차근 쓰면서 해야 한다 애들아. 
 
내가 파랑색으로 그은 이건 이걸 가르켜. 웁 스. 미안. 내말은 그리 나쁜 건 아니고, 좀 다루기가 힘드네. 니 생각으로는 이방정식은 풀릴 수 있다고 그렇게 생각하는데 풀리지는 않아. 그리고 왜냐하면 이 방정식은 대세 적인 것 보다 예외에 속하기 때문에 첫날에 이 single differential equation은 풀지 않겠어. 하지만 이 파랑색 안의 방정식은 니가 월하들 언젠가는 너랑 마주치게 될 거야. 
 
이걸로 무엇을 하려고? 그래서 첫날은 기하학적 방법으로 미분 방적식과 수에 대하 접근 할거야. 아주 나중에는 조금은 수적 방법으로 이야기 할 거야. 이 두 가지 방법으로 첫 번째 문제를 풀게 될 거야. 미분 방정식을 기하학적 방법으로 보면 무엇일까? 아마도 일반적인 방법과는 대조적일 거야 이건 니 네가 푸는 elementary functions를 찾거나 너 네가 푸는 문제들일 거야. 난 이걸 분석적 방법이라 부르지. 반면에 우리가 가지는 분석적 아이디어는 양함수의 형태로 쓰지. y' = f(x,y) 
 
그리고 일반적인 방법을 보자. 이제 ODE에 대해 보자. y1 of x 주목해 나는 각각의 단어는 쓰지 않아. 왜냐하면 글자들은 곱하기가 매우 빨라 다른 방식으로 글자를 쓰는 더 좋은 아이디어가 있으면 우리가 말하는 이 방식으로 쓰지 않아도 돼.  
 
내가 쓰는 y1의 의미는 이 미분방정식의 솔루션 이라는 의미야. 물론 미분 방정식은 아주 많인 솔루션을 가지고 있어 임의의 상수를 포함하는. 그래서 우리는 이걸 솔루션이라 불러, 기하학적 관점에서 이건 방정식으로 쓰이는 것과 대음하고 우리는 이것을 direction field라 불러. 그리고 이 솔루션은 기하학적 관점에서 적분 곡선으로 불리기도 하지. 너희도 알고 있겠지만 나는 지금 고등학교 때 배운 것을 복습 해 주고 있어. 고등학교 때 BC syllabus를 가진 사람들은 이것들을 알아야 한다. 그리고 컴퓨터 스테프들은 이 문제 세트를 해야 할 거야. 이 어마한 양은 너희가 신기해 할 거야. 
 
이건 너희에게 신기 할 거야. 왜 나에겐 아니지? direction field가 뭐지? direction field는 니가 평면 하나를 골라 물론 그건 불가능 하지. 그러나 평면의 여러 점들 중 하나를 골라. 이 작은 선 그리고 이건 만이 평면 쪽의 밖과 구분 되는 거야. 그래서 이 점을 (x,y)라 하자. 이 요소는 우리가 그린 선에 있고 이건 슬로프야. 이것의 슬로프라 뭐야? 이것의 슬로프는 f(x,y)가 될 거야. 이제 너희가 평면을 채워 이것들의. 니 네가 지칠 때 까지. 그래서 이것은 쉽게 지치게 되. 
 
그래 난 모르 겠다. 모든 게 다 똑같이 너희 들을 만들지는 않아. 농담 이야. 여긴가? 여기에 랜덤하게 고른 라인인 요소들에 내가 넣고, 그리고 랜덤 하게 슬로프를 골라. 왜냐 하면 난 내 맘속에 특별한 미분 방정식은 없거든. 이 적분곡선 이게 line elements야. 이 적분 곡선은 곡선 이며 평면을 지나 가고 모든 점은 각 요소의 탄젠트야. 
 
그래 이게 적분 곡선이야. 좀만 기다려. 그 라인 요소에 있는 탄젠트는 만질 수 없을 거 같아. 그게, 내가 그 라인 요소에 평면을 채우지 않았거든. 여기 이점, 이게 탄젠트야. 같은 게 여기 있어. 내가 라인 요소를 여기 그리면 나는 곡적을 정확하게 올바를 슬로프로 찾을 수 있어. 
 
그래서 이 포인트는 적분이고, 적분 곡선과 구분 되는 것은 모든 곳에서 이건 방향을 가지고 있고 이건 탄젠트를 가리키는 방법이야. 곡선 위의 모든 점은 모든 field에서 방향을 가지고 있고, 물론 어디로 가지는 않아. 모든 미션을 성취하지는 않지. 이제 이걸 적분 곡선이라 부르고 이건 미분 방정식의 솔루션이야. 다른 말로 분석 적 미분 방정식으로 적고, 기하학적으로 이 direction field에 적지. 또한 이 분석적 미분 방정식 풀이 법은 기하학적 적분 곡선을 그리는 것과 같아. 내가 무슨 말을 하지? 
 
난 적분 곡선을 말하고 있어. 이런 방식으로 쓰지. 내가 작은 정리를 만들어 볼게. y1(x)sms 미분 방정식의 솔루션이야. 즉, 그래프로서, 곡선은 이건과 연관되고 x의 y1그래프는 적분 곡선이야. 적분 곡선이 뭐라고? direction field와 연관된 방정식이지. 그러나 이 칠판에 쓸 정도의 공간이 충분치 않아. 그러나 너희들 노트에는 써야 돼. 노트 가지고 있으면. 그래서 적분 곡선 그래프와 솔루션 두 가지의 관계야. 
 
이제 왜 그럴까? 사실, 모든 걸 증명 해야 돼. 만약 너희가 모두 직면을 부른 다면 진정한 의미로 쉽게 번역 할 거야. 내가 진실로 의미 하는 바는 주어진 function이 미분 방정식의 솔루션이냐고? 즉 내 말은 너희가 미분 방정식에 넣을 수 있고 만족 시키냐. 알겠니. 뭔지? 내가 어떻게 방정식에 대입하고 만족 하는지 체크할까?  
 
추상적으로 한다면, 미분을 한번 할 거야. 그리고 어떻게 이 방정식에 넣고 검토할까? 그건 x에 대해서는 할 필요 없고 y에 대해서 이 방정식에 넣어 보는 거야. 이 방식으로 쓰는 거지. 그래, 이 적분 곡선의 그래프는 무엇을 뜻하니? 이건 각각의 점을 의미하며 이 곡선의 기울기는 x의 y1기울기는 각점 (x1,y1). 그 점의 direction field의 기울기를 의미해. 
 
그리고 그 시점에서 방향 필드의 경사입니까? 음, f를 특정, 음의 시점에서 (는 x, y1). 당신이 원한다면, 당신은 거기에 첨자를 하나 넣을 수 하나를 여기에 0 또는 거기 당신이 특정 지점을 나타내는 의미로 보내주십시오. 하지만, 그것은 더 나은 보이는 당신이하지 않으면. 하지만, 거기에 혼동 가능성의 일부. 난 그걸 인정합니다. 그래서 방향 필드의 경사, 그게 무슨 경사입니까? 음, 그건 그렇고, 난 방향 필드를 계산됩니다. 시점에서 그것의 경사가 있을 것 이었다 엑스, 뭐 든지의 가치 엑스 있었고, 무엇이든지 y1은 (x)를, 방정식의 오른쪽 측면으로 대체 되었다의 가치. 그래서 그 그래프의 곡선이 함수의 경사 방향 필드의 사면과 동일 해야 합니다. 이제, 이걸 뭐라고 말해야하지? 
 
그럼 y1 (x)의 경사는? 그건 y1이야. 그게 18.01의 첫날, 미적분에서 나온 거 에요. 어떤 방향으로 필드의 경사인거야? 이거? 음, 이건가. 그리고 그것은 오른쪽 함께. 그래서 두 사람이 동일하거나 동등한 거야. 분석적으로 하게 되면, 두 사람이 동등한 위치라고 같은 알로 증명의 구성은 정말 무슨 뜻이야? 이게 정말 무슨 뜻입니까? 그리고 당신이 무슨 뜻인지 알겠다면 그들은 같을 거야. 
 
그럼, 제가 어떻게 쓰는지 몰라요. 괜찮아요. 같은, 어떻게 그게 뭐죠? 이것은 그것과 동일합니다. 좋아, 이것이 우리에게, 그럼 이게 2003, 주로 컴퓨터가 당신을 위해 그리는 것들은 어떻게 방향을 그리는지에 대한 재밌는 질문은 우리에게 남겼어요. 그럼에도 불구하고, 당신이 일정 금액을 알고 있다. 내가 당신에게 당신이 방향 필드를 직접 그릴 필요는 연습 문제 몇 줬다. 이것은 정말 당신이 그것을 위해, 느낌 또한 인간이 동일한 방식으로 컴퓨터가 할 방향 필드를 그려하지 않기 때문이다. 자, 가자 우선, 어떻게 한 컴퓨터는 그것을 합니까? 그들은 정말 바보입니다. 아무 문제 없어요. 
 
그들은 아주 빨리 가야 때문에, 컴퓨터의 방법은 원시적입니다. 당신이 지점을 선택 하십시오. 당신은 지점을 선택하고 일반적으로, 그들은 일반적으로 동일하게 간격 입니다. 당신은 하나 :이 어쩌구 저쩌구, 어쩌구 저쩌구, 똑같이 간격을 결정합니다. 그리고, 각각의 시점에서, 각점의 f(x,y)를 계산하고 맞춰보고 f(x,y)의 같을 계산하고 다음으로 (x,y)의 라인요소를 가진 f(x,y) 기울기를 그립니다. 다른 말로 미분 방정식은 이걸 하죠. 
 
그리고 유일하게 당신이 할 수 있는 것은 당신이 direction field를 그린다면 공간에 당신이 말한 옵션에 대해서, 어쩌면 사람들이 보는 전체 라인을 싫어하는. 그들은 달지 라인의 반만 볼 것 입니다. 그리고 당신은 종종 말 하조, 프로그램에 따라, 당신이 라인을 얼마 동안 원했는지 하지만 지금은 안 되요. 
 
그래, 그게 컴퓨터가 그렇 잖아. 인간의 무엇을 합니까? 이것은 사람이 될 것을 의미 합니다. 당신의 지능을 사용합니다. 인간의 관점에서 볼 때 이 물건이 잘못된 순서로 진행 되었습니다. 그리고 그 이유가 그것이 잘못된 순서로 썼는데 : 새로운 각 지점에 있기 때문에, 그것을 다시 계산 f를 (x,y). 정말 끔찍합니다. 컴퓨터는 마음이 없지만 인간은 그렇지 않습니다. 인간에 대한 그래서, 당신이 보고 싶은 경사를 뽑아서 하기 시작하는 방법은 아닙니다. 그래서 당신은 경사를 골라 시작 합니다. 이것은 경사 값이라 부릅니다. 당신은 번호를 선택합니다. C는 두 가지 입니다. 어딘지 라인 요소의 경사가 될 두 비행기의 모든 지점 위치보고 싶어? 글쎄, 그들은 방정식을 만족 시킬 것입니다. 
 
방정식 f(x, y) = C 는 일반적이다. 그럼, 당신이 할 경우, 줄거리 방정식을, 플롯이 방정식이 방정식이아. 공지 사항, 이건 미분 방정식 아니에요. 당신은 정확하게 미분 방정식을 풀 수 없습니다. 그것은 곡선, 곡선의 평범한. 하지만 어떤 곡선에 따라 달라 집니다, 그것은 사실이야. 보기의 18.02 시점에서, C의 수준 곡선, 미안, 그것은 수준의 곡선 f( x, y), 함수 f의 x와 y 수준에 해당하는 값이 C야. 
 
하지만 우리는 그것을 호출 하지 않을 수 있습니다 이것은 18.02되지 않기 때문에. 대신, 우리는 isocline이라 부릅니다. 그리고 나서, 당신은 줄거리, 음, 당신이 그것을 했어. 내가 완전한 곡선에 대해서만 솔루션 곡선을, 실선, 사용거야 제외 그러니까, 당신이 isocline이 있어요. 우리가, 그들의 솔루션은 없습니다. 점선 라인을 사용합니다. 하나는 컴퓨터가 사물이고 다른 하나는 그렇지 않습니다. 하지만 그들은 서로 다른 색상도 사용할 수 있습니다. 이게 바로 isocline이고 무엇을 말하는 다른 방법은 솔루션 커브가 있습니다. 그래서 당신은 뭘 합니까? 그래서, 이들은 모든 포인트가 경사는 C 될 것입니다. 
 
그리고 지금, 니가 하는 것은 기울기 C를 가진 라인 요소를 니가 원하는 만큼 많이 그리는 거야. 핵심은 얼마나 효율적이야. 니가 5천만을 원하거나 시간을 가진다면 5000만 안에. 또는 두 개 또는 세 개를 충족한다면 2개나 3개를 그려. 사진을 봐봐. 당신은 커브가 무엇처럼 생겼는지 보고, 그것은 당신에게 당신이 그걸 어떻게 할 만큼 당신의 판단을 줄 것이다. 그래서 일반적으로 그림에, 그러니까, isocline에 C에 해당하는 말을 하자 그렇게 그려진 0과 같다. 
 
라인 요소, 난 등복각선에 대한 생각 ,이 강의의 목적, 그것은 isoclines 넣어하는 것은 좋은 생각 입니다. 그래, 그래서 내가, 또는 핑크색 색깔에 솔루션 곡선을 또는 무슨 색깔 이든 간에 집어 갈 isoclines은 오렌지 색으로 될 것 같아요. 그래서, isocline은 점선으로 표시하고 지금의 라인 요소에 놓을 테니까, 우리는 그것에 분필을 많이 필요로 합니다. 그래서, 흰 분필을 사용합니다. 
 
Y는 수평? 이 경사에 따라 0이 그곳에 있어야 하기 때문이지. 그리고 같은 방법으로, 기울기가 음수인 isocline은 어때? 자 여기서 C는 음수와 같아요. 좋아, 그럼 이렇게 보이는 것입니다. 이들은 기울기 라인이 음수여야 합니다. 날 쏘지 마세요 그들이 아니 라도. 그래, 이게 원리야. 그럼, 이게 평면 방향 필드를 채우는 방법입니다. : 첫 번째 isoclines를 계획하고 있습니다. 
 
그리고, 일단 거기, 당신은 isoclines을 가지고 있고 당신은 라인 요소를 가지고 있습니다. 그리고 당신은 방향 필드를 그릴 수 있습니다. 그래, 그럼, 앞으로 몇 분 동안, 난 당신이 어떻게 문제를 푸는지 예제들을 통해 알고 싶습니다. 그럼, 첫 번째 방정식은 y' = -x/y이다. 좋아, 우선, 무슨 isoclines 입니까? 음, isoclines 은 y가 될 거야  
 
음, -x / y =c. 어쩌면 두 단계를 만드는 게 더 나을 거 같다. -x/ y를 통해 C로 동일하지만, 물론, 아무도 그런 형태로 커브를 그리지 않습니다. 당신은 양식에 y = -1 / C * X에 그것을 원할 거야 그럼, 우리 insocline 이 있어요. 이게 그렇게 되니까 내가그릴 이것을 이 색, 오랜지로 놓는 게 난 어때? 다른 말로 미분 값 c는 정렬되어있어, 기원을 통해. 이것은 아주 간단 보입니다. 그래, 그럼 여기서 평면이 있어요. isoclines 는 라인의 기원을 통해 될 수 있습니다. 그리고 지금, 어디에, 그들을 놓을지 예를 들어 보자, C는 동일합니다.  
 
C와 같다면, 다음의 라인은, y=- X. 이것은 isocline입니다. 난 여기 놓을 게요, C는 빼기 1과 같습니다. 그리고, 뭔가 잘못, 아니, 함께. 미안해요? C는 하나, 음수가 아니죠, 오른쪽, 감사합니다. 감사합니다. 그래서, C와 같다. 그래서, 그것은 경사면의 하나는 라인 요소, 기울기중 하나가 될 것입니다. 자, C는 하나의 음수도 없는 건가요?  
 
C가 음수라면, 다음의 라인, Y=x. 그래서, 그게 isocline이야. 이들은 isoclines 이기 때문에 공지 사항, 아직 대시이다. 여기에서, C는 음수이다. 그래서, 경사 요소는 다음과 같이. 공지 사항, 그들은 직각 입니다. 자, 주목 그들이 항상 라인이 직각이지 왜냐하면 c에 대해 마이너스인 기울기 이니까. 그러나 라인 요소의 기울기는 C가된다. 그 번호로 빼기 1 C와 C 그리고 상호 간 음수. 그리고, 당신은 알고 있어 두 라인 간의 기울기는 음수의 상호 간 서로 직각이라는 것을. 그래서, 라인 요소가 이들 수직으로 될 수 있습니다. 게다가, 내가 거의 계산을 귀찮아서 안 해, 더 이상 계산을. 이건 어때?  
 
여기에 논란이 isocline. 그게 isocline? 음, 잠깐 만요. 그건 아무 것도 일치 하지 않습니다. 아 -하지만 내가 어떻게 C. C를 통하여 곱하면 그것은 C는 0에 해당되는 것입니다. 즉, 이렇게 쓰지 마세요. 곱셈을 통해 C. C는 Y = - x라고 읽고 그리고 그때, C는 0, x=0 정확히 y 축에 대해서.  
 
그래서, 정말 포함되어 있습니다. 어때 x 축은? 음, x 축은 포함되지 않습니다. 그러나, 대부분의 사람들은 어쨌든 포함 됩니다. 이것은 아주 일반적인 기울기와 모서리의 가장자리 의 하나이며, 그리고 아무도 눈치 못 채기를 바랍니다. 우리는 C는 무한과 상통에 해당하는 말이에요. 난 아무도 그것에 대해 싸우고 싶어 하지 않기를 바랍니다. 당신이 그런다면 당장 가서 다른 이들과 싸우세요. C는 무한이 그렇다면, 즉, 작은 선 세그먼트를 무한 사면 의미와 공통의 동의로, 그게 수직 되어야 의미합니다. 그래서, 우리도 isocline 의 일종으로 이것을 계산하실 수 있습니다. 그리고, 작은, 그것은 다른 사람보다 낮은 상태를 나타 냅니다 대시가 될 거야. 그리고, 내가 여기에 인용 부호로 내가 그것을 위해 넣을 거예요. 나에게 책임도 없거니와 나타내기 위해 그것을 weaselly 일을 놓을 게요.  
 
자, 이제, 우리는 지금 그것에게 적분 곡선을 데려 가고 있다. 음, 아무것도 쉬울 수 없습니다. 여기저기 이러한 광선에 수직하는 커브를 찾고 있어요. 글쎄, 당신은 기하학에서 이들은 동그라미 알고 있습니다. 그럼, 적분곡선은 동그라미다. 그리고, 그것은 기초적 연습이며, 나는 기쁨을 박탈하지도 않을 꺼 에요. ODE를 변수 분리 방정식으로 풀어라. 다른 말로하면, 우리는 동그라미 과정의 기원에서 중앙으로 것들입니다 내가 C1 를 씁니다. 이 c과 헷갈리지 마세요. 그들의 모습은, 변수 분리로 풀 수 있는 것처럼 생겼으며 그 동그라미로 솔루션을 확인하세요. 
 
한 가지 재밌는 게, 난 이것을 확인하려고 해, 내가 그것을 하지 않 겠어요 왜냐하면 나는 기하학과 사물 수치를 오늘 하고 싶어요. 그래서 변수 분리로 이것을 해결한다면 . 하나 흥미로운 사실에 y = y1(x)를 솔루션으로 한다면 the sqrt (C1 - x^2)처럼 보일거야. 우리는 사람들이 일반적으로 반경을 넣기 때문에 엑스 제곱이 될 거야.  
 
그래서 해결책은, 전형적인 솔루션은 이런 것 같습니다. 그럼, 그 해결책은 여기 있어? 글쎄, 그건 하나의 해결책은 여기서 부터 여기 까지 갑니다. 당신이 원한다면, 그것은 그것에 대한 부정적인 측면이 있습니다. 그럼, 제가, 플러스라고 봐야 할 거야. 거기서 음수 값을 가지는 다른 해결책, 그럼. 그래도 제곱근의 양의 값을 하나 사용하자. 내 요점은, 그 해결책은, 그 솔루션의 도메인, 정말 단지 여기서 부터 여기 까지 사라진다는 거죠. 그것은 전체 x 축은 아니에요. 그것은 솔루션은 x 축에 단지 제한적으로 정의된 것 이라 구요. 거기에 더 이상 그것을 확장하는 방법이 없습니다. 그리고, 거기에 예측의 방법은, 미분 방정식에서 그 전형적인 솔루션은 그런 제한된 도메인을 가지고 간다고 알고 있습니다.  
 
다른 말로하면, 당신은 하지만 해결책을 찾을 수 있는 가에 가서 얼마나 멀리 무엇입니까? 가끔은 불가능한 것도 명시적으로 그것을 찾거나 컴퓨터를 그림을 그려 요청에 의해, 그리고 당신에게 통찰력을 제공하는 경우를 제외하고 확인하여 말할 것이 없습니다. 그것은 하나의 미분 방정식 처리에 많은 어려움 중. 당신이 실제로 그것을 계산 전에는 어떤 솔루션의 도메인이 될 것 이오 몰라요.  
 
자, 조금 더 복잡한 예를 보게 될거야, y' = 1 +x- y를 보자. 그것은 훨씬 더 복잡한건 만은 아니에요. 컴퓨터 연습으로는, 당신은 아직 더 복잡한 것들을 연습 해야 합니다. 하지만 여기, isoclines가 뭐가 있죠? 글쎄, 내가 C로 당신의 머리에 대수를 동등하게 설정 할 수 있습니까? isocline은 방정식을 가질 것이다 : 이것은 C이다. 그럼, 오른 쪽에 있는 y를 넣어, 그리고 왼쪽에 있는 그 C를 넣습니다. 그래서, 그것은 방정식 y= 1 + x - y 또는 좋은 방법은 y = x + 1 - C. 난 그게 별로 중요하지 않는 것 같아요. 
 
그래서 isocline의 방정식 입니다. 가장 신속하게 방향 필드를 그리세요. 그리고 통지, 그런데, 그것은 간단한 등식, 하지만 별도의 변수는 할 수 없어요. 그래서 어떤 속도로 오늘, 답변을 확인하실 수 없습니다. 내가 분석 대답을 얻을 수 없을 것입니다. 우리가 기하학적인 답변을 얻을 수 있습니다. 하지만 얼마나 빨리, 상대적으로 신속하게, 하나는 그것을 얻을 수 있을 지는. 그럼, 솔루션이 방정식에 행동하는 방법에 대한 기분이야. 
 
좋아, 어디 보자, 우리가 먼저 플롯 해야 해요? c가 1과 같다면, 아니, C가 1과 같지 않아도 돼. C는, 먼저 0과 같다고 하자. C는 0과 같습니다. 그것이 줄 입니다. y = X + 1. 좋아, 내가 실행하고 분필을 만들자. 그래서, isoclines 오렌지에 있습니다. C는 0과 같아질 때, y는 X 더하기 1 이니깐 그렇다면. 자, 이렇게 곡선을 가정해 봅시다. C는 제로와 동일합니다. 어때 C는 음수인가요? 그렇다면 y = X + 2이야. 그것은 이 곡선이야. 자, 여기에 레이블을 내려 놓자. 그래서, 이것은 C는 음수 입니다. C가 음수 두 가지와 같다면 y =X, 아니, 내가 뭐하는 거지?  
 
C는 y = X + 2 과 같습니다. 맞습니다. 음, 방법에 대한 반대쪽? C는 하나 더하기 같아질 경우, 그럼 그것은 원점을 통과 할 거야. 좀 더 많은 공간 처럼 여기 보입니다. 그러니까 만약 C와 같게 될 경우, 다음 중 하나와 동일합니다. C는 두 개와 같이 표시 됩니다. 그들은 모두 평행선이 될 거야 왜냐하면 모든 변화는 Y 절편입니다. 그럼, 여기는 C= 2 이니 깐요. 그건 아마 충분하다. 좋아, 이 라인 요소에 넣어 보자. 좋아, C는 -1과 같다. 이들은 수직 됩니다. C가 이런 제로와 같습니다.  
 
C는 1입니다. 오, 이건 흥미롭군. 선 자체와 심지어는 라인 요소는 함께 그릴 수 없습니다. 왜냐하면 그들은 커브 자체에 맞춰진 것이기 때문입니다. 그들은 y를 라인을 따라 쓰고, 그 힘든 그리기를 합니다. 어떻게 C는 2와 동일 하죠? 음, 여기, 라인 요소 slanty됩니다. 그들 너무 예쁜 slanty 최대 경사를 둘 거야. C는 같은 방식으로 3이면, 내가 볼 수 있습니다. 거기에 더 slantier까지 될 수 있습니다. 그리고 여기, 그들은 더욱 slanty 내려 될 거야. 이것은 매우 과학적인 용어 또는 수학되지 않습니다, 그러나 당신은 생각을. 그래, 그럼 저기 방향 필드의 빠른 버전을. 우리가 몇 가지 핵심 곡선을 지금 넣고 해야 해요. 그것이 일을 마치 하는 것 같습니다. 그것은 여기에 덜 slanty를 가져 옵니다. 그것은 수치가 밖으로, 사면 제로 있습니다.  
 
그리고 지금은 평면의 일 부분 에서 경사가 상승 하고 있는 것 같다. 그래서, 그런 일을 해야 합니다. 이 사람은 이런 식으로 뭔 가를 해야 합니다. 좀 내가 여기서 뭘 무엇을 해야 의심스러운 거야. 아니면 방법에 대한 다른 측면에서 인가요? 음, 다른 쪽으로 올라가면, 작은, 그것이 크로스 해야 합니까? 어떻게 해야 합니까? 글쎄, 보기 쉬운 하나의 완벽한 곡선이야. 이것이 하나있어. 이 줄은 모두 등복각선과 적분 곡선이다. 
 
그건 다, drawable를 제외하고, [웃음] 그래서, 이 같은 줄을 알고 있습니다. 그것은 모두 동시에 오렌지 색과 핑크 색 이야. 하지만 난 뭔지 모르 겠어 어떤 조합의 색상을 만들 것인지를. 그것은 선처럼 보이지 않아. 하지만 공감 할 수 있습니다. 자, 문제는 ,이게 corridor에서 일어나고 있는 무엇입니까? corridor에서, 그 수학적 단어도 아니 잖아. isoclines의 사이에서는, 음 사이에서는 무엇 입니까? 그들은 isoclines에서 c가 두 가지로 같아질 때, 그리고 C는 0과 같습니다. 어떻게 그 corridor로 보이나? 음 : 이런 걸. 그런 이 쪽으로, 선 보인다. 그리고 이렇게 여기에, 그들은 모두 봐.  
 
기울기는 2 입니다. 그리고 불운한 솔루션은 거기에 도착. 어떻게 그것을 해야 할까? 당신이 솔루션이 도착하면 그게 corriodor를 가지고 있고, 적분 곡선에 도달하면 아니 탈출이 가능합니까? 이건 랍스터 함정 같은 거야. 가재는 안으로 걸을 수 있어 지금은 상황이 항상 들어 갑니다 있기 때문에 이건 걸을 수 없습니다. 어떻게 탈출 그것은 할 수 있습니까? 그것은 수평이 아닌 게 틀림없어 음, 다시 어떻게든, 탈출을 할 것 입니다, 그것은 수, 왼쪽에서 탈출 했다.  
 
하지만, 어떻게 다시 처음 배로 증가 없이 그렇게 할 수 있고 잘못된 경사를 못해? 모든 사면이 복도에 긍정적인, 그리고 다시 두 배로 탈출, 그것은 어떤 시점에서 부정적인 경사를 가질 것입니다. 그것은 그렇게 할 수 없습니다. 글쎄요, 그것은 오른쪽 측면에 벗어 날 수 있을까? 순간 그것은 십자가 싶어 아니, 덕분에, 그것은 더 적은이 라인보다 경사를 해야 합니다. 하지만이 모든 칼날 가리키고 되며 그것도 그렇게 벗어 날 수 없다. 그럼, 탈출도 가능 합니다. 그것은 계속한다, 거기. 하지만, 그것보다 사실 입니다. 그럼, 해결책은 벗어 날 수 없다.  
 
일단 저 안에 있어요, 이제 벗어 날 수 없다. 그것처럼, 왜 그들은 내가, 투수 식물 잊어 그 식물, 전화 않습니다. 그들이 듣고 그들이 추락 하고 있다. 그래서, 그런 것 같습니다. 그래서 불쌍한 곤충들은 모든 머리카락이 잘못된 방향으로 가고 있다는 점을 제외 벽을 올라가 수도 들어가 폭포, 그리고 그들을 잊을 수 없습니다. 음, 그렇게 생각 해 보자 :이 불쌍한 트랩 솔루션을. 그래서, 그게 무슨 상관이 없습니다. 자, 그것보다 더 있어. 두 가지 원칙이 여기에 참여 당신이 알고 있어야 하기 때문에 이 그림에 많은 도움이 됩니다. 원칙적으로 번호 하나 두 일체형 곡선 각도로 교차 수 없습니다. 두 일체형 곡선은, 그러니까, 그런 각도로 횡단하여 크로스 수 없습니다. 내가 그런 사진을 의미 표시됩니다.  
 
자, 왜 안 돼? 이것은 중요한 원칙이다. 흰색 상자에서 꺼냅니다. 그들은 두 개의 적분곡선 때문에, 크로스 하려고 할 수 없다, 글쎄, 하나는 이런 모양이 됩니다 교차할 수 없습니다. 그것은 적분 곡선은 기울기를 가지고 있기 때문이야. 그리고 다른 적분 곡선은 이 기울기가 있다. 그리고 서로 지금 싸우려한다. 그게 무슨 시점에서 진정한 기울기 입니까? 음, 방향 필드 오직 하나의 사면을 가지고 있습니다. 그 시점에서 라인 요소가 있다면, 그것은 명확한 사면이 있습니다. 게다가, 그것은 모두 사면하고 가질 수 없다. 그것은 아주 간단 한 거야. 그럼, 이유는 두 개의 슬로프를 가질 수 없습니다. 방향 필드는 그것을 허용 하지 않습니다. 나도 알고 있다면, 여기에 필수 적인 곡선 때문에 글쎄, 그건 아주 큰 도움, 그리고 만약 내가 이러한 다른 핑크 일체 곡선도 그것을 건너, 안 그러면 내가 어떻게 할 수 허락 알고 있어?  
 
글쎄, 그들은 벗어날 수 없다. 그들은 교차 할 수 없습니다. 그것은 분명 일종의 그들이 가까이 있어야 하며 그것에 더 가깝다. 너도 알다시피, 난 그걸 정당화 하기 위해 약간의 작업이 좋겠군요. 하지만 아무도 그것의 작은 실험을 한 의심의 여지가 됐을 거라고 생각해. 즉, 이러한 모든 곡선은 그 작은 튜브에 입사하여 가까이 라인에 가까이 가서, Y = X 그리고, 미분 방정식을 해결하지 않고, 아무도 그게 이러한 모든 솔루션, 그들이 어떻게 행동 합니까? 엑스로서 무한대로 이동, 그들에게 asymptotic되고, 그들은 점점 가까이 그리고 가까이 솔루션에 다가간다, x는 해결책? 그래, y =X이기 때문에 적분곡선 입니다.  
 
x는 해결책 입니까? 네, 왜냐하면 만약 내가 y=X를 대입하면 , 이해가 뭐요? 오른쪽 측면에서, 하나를 얻고. 그리고 왼쪽 측면에, 하나를 얻습니다. 하나 하나와 동일 합니다. 그래서,이것이 솔루션입니다. 그것이 솔루션의 표시한다고 하자. 그래서, analytically, 우리는 미분 방정식의 분석적 솔루션을 발견한다, 즉, Y= X, 이 기하학적인 과정으로서 말이다. 자, 저, 이러한 원칙과 같은 게 하나 더 있습니다. 다소 분명하지는 않지만. 하지만 그것을 알 필요가 있습니다. 그래서, 당신에게는 십자가에 허용되지 않습니다. 그 점을 분명히 해. 하지만 훨씬, 훨씬, 훨씬, 훨씬, 훨씬 덜 분명한 것은 두 적분 곡선은 만질 수 도 없는 분명한 사실이야. 즉, 그들은 심지어 접선 할 수 없습니다. 두 일체형 곡선 접선 할 수 없습니다.  
 
내가 무엇을 나타내는지 , 많은 사람들이 말을 하는 단어 입니다. 다른 말로 해서, 이것은 불법적인 경우 , 그래서 이것입니다. 그것은 일어 날 수 없습니다. 당신은 그 예를 들면, 그것은 수도 없이 알다시피, 그 무엇도 그 곡선이 여기에 합류하는 것을 막을 수 없다는 것을 느낄 수 있습니다. 왜 이런 분홍 곡선 라인을 가입하지 못했습니다, y=X? 알다시피, 그것은 해결책 이다. 말하자면 그들은 그냥 태워 피치를. 그 대답은 그들이 가지고 있기 때문에 단지 그것에 asymptotic, 절대, 절대 가까이 가야 할 수 없습니다. 그들은 y=X 합류 지점 덕분에 가입 할 수 없는, 그런 상황 입니다.  
 
자, 당신은 왜 이것을 가지고 있을 수 없습니까? 그게 훨씬 더 정교하고 이것보다, 그리고 이유가 뭔가의 존재 및 특이 사항 정리라고 불리기 때문에, 그 해당 지점을 통해, (x0, y0), 그 y 소수는 y '= F (x, y)를 하나 가지고 오직 하나의 솔루션을 가진다. 단 하나는 해결책을 단 하나 가지고 있습니다. 수학에서, 그건 적어도 하나의 솔루션을 의미 말한다. 그것은 단지 하나의 솔루션을 의미하지는 않습니다. 그건 수학 컨벤션. 그것은, 적어도 하나의 솔루션을 하나의 솔루션을 가지고 있다. 하지만, 범인은, 단 하나의 해결책이다. 
 
당신이 수학적으로 말하려고 해야 하는 것은 단지 하나이다 단 하나. 단지 하나의 솔루션은(x0, y0)점을 통해서 말이다. 그래서, 그것은, 그것은 존재의 일부가 하나있다는 사실. 그것이 사실은 하나의 정리의 특수성의 일부 입니다. 가설을 가지고 지금은 모든 수학적 정리 좋은 것이다. 이것은 가설을 가지고 있습니다. 그래서 이것은 과정이 될 것 같진 않지만, 난 당신이 분들은 이론적으로 매우 가설이 풍부한 경향을 경고하고 있습니다. 그러나 그 중 하나 또는 그 f(x, y)가 연속 함수가 되어야 하지만, 가설. 자, 같은 다항식은 표지판 가까이에 지속적으로 그 지점의 부근에 있어야합니다.  
 
그 보장의 존재, 그리고 독자성을 보장 하는 것이 가설이며 이 가설은 당신이 혼자 추측 하면 안 됩니다. 나도 마찬가지로 무엇을 독자성으로 보장 또한, 그것은 일부 파생하는 y에 관하여 지속 되어야 함을 끊임없는 근처 (x0, y0)에 대해서 말이죠. 글쎄, 난 이미 결정을 내려야 합니다. 내가 오일러의 방법에 대한 얘기를 할 시간이 별로 없습니다. 내가 당신을 참조 할 거야, 거기에 메모를 한 페이지에서, 난 그냥 그 노트에 어떤 반복 이상을 할 수 없습니다. 그래서 당신이 그렇게 읽을 것을 신뢰 합니다.  
 
대신, 내가 당신에게 약간 마음에 들어 할 딱딱할 예를 들어 시간을 가집시다. 그게 더 좋은 코스 같아요. 예를 들어 여러분 노트에 있는 것이 아니며 따라서, 기억, 당신이 여기 먼저 들었어요. 그럼, 예를 들어있어? 그래서, 그 미분 방정식입니다. 자, 그냥 변수를 분리하여 그것을 해결하자. 당신의 머리에 그것을 할 수 있습니까? dy / dx 를. y'을 모두 왼쪽에 놓고. dy / (1 - y)로 보이게 됩니다. DX는 모두 왼쪽에 놓습니다. 그럼, 여기에 DX를 오른쪽에 대신에 놓습니다. 그건 DX를 합니다. 그리고 x는 아래 분모로 간다. 이제, 그런 것 같습니다.  
 
나는 양쪽을 통합하면, 마이너스 y의 로그를 얻을 것 입니다., 난, 아마와 추측은, 난 그걸 참을 수가 없거든요, 그런데 넌 할 수 있어. 그것은 절대적인 값 이어야 합니다. 좋아, 플러스, 상수 절대적인 값을 쓰세요. 난 양면을 exponentiate면 이제, 상수 양수 입니다. 그래서, 이것은 y가 될 거예요. (1 - y) = X. 그리고 상수는 e^ C1이 됩니다. 그리고 난 그냥 상수 하나를 만듭니다. CX라 하죠. 그리고 지금, C를 음수로 보내는데, 그 결과 너는 절대값을 제거 할 수 있을 것이다. 니가 c를 허용 한다면 양수 뿐만 아니라 음수 또한 허용 한다면 말이다. 이것을 좀 더 인간의 형태로 작성하자. 그래서 y = 1 - CX는. 좋아, 좋아, 그냥 들을 플롯 하자. 그래서 이들은 해결책이 없습니다.  
 
그것은 아주 쉬운 방정식, 아주 쉽게 해결 하는 방법, 변수의 분리야. 그것 들은 어떻게 생겼을까요? 음, 이건 누구의 요격 하나에서 모든 라인이 있습니다. 그리고 그들은 어떤 경사면을 가지고 있습니다. 그래서 이런 저런 모습으로 라인이 있습니다. 자, 이제 나, 존재와 고유성을 물어 보자. 존재 : 어떤 평면의 지점을 통해 해결책은 어떠 세요? 답 : 평면의 모든 점을 통해, 나는 단 하나 그리고 단 하나의 그 라인을 찾을 수 있다, 여기에 꽃의 줄기에서 제외 하나를 찾을 수 있습니다. 자, 각 포인트에 대해, 존재는 없습니다. 미분 방정식은 아무런 해결책이 없습니다. 이 해결책은 하나 제외한 이들 위의 y축 위의 점을 통해.  
 
이 지점이 oversupplied입니다. 이 시점에서 그것은 실패 존재가 아니에요. 그것은 그 실패의 특이 사항 : 특이 사항 없습니다. 여기를 통해가는 것에 많이 있습니다. 이제는 그 존재와 독자성 정리 위반? 정리도 예외가 있기 때문에 그것은 위반 하실 수 없습니다. 그렇지 않으면, 정리되지 않을 것입니다. 그래서, 한 번 봐 봅시다. 뭐가 잘못 됐어? 우리는 modulo로 그것을 해결 했어, 로그의 절대 값 사인으로 가하는 생각을. 뭐가 잘못 됐어? 그 대답은 : 왜 그래 당신이 녹색 양식에 내가 당신을 준 표준 양식에 미분 방정식을 작성 해야 정리를 사용 하는 것입니다. 이제 우리가 하기로 한 미분 방정식을 작성 하는 방법을 하자. 이건 말 이죠 dy / DX = (1 - y) / x  
 
x는 0, 같아질 때 그리고 지금, 난 오른쪽 측면이 연속하지 않다는 것, 사실, 정의 되어 있지 않다고 볼 때, y 축에 따라서 말이야. 따라서 존재와 독자성이 라인을 따라 보증은 되지 않으므로, y 축에 y는 0에 대해 같습니다. 그리고 사실, 우리는 그것이 실패를 참조 하십시오. 자, 실용적인 문제로서, 그것은 존재 방식과 독자성의 미분 방정식으로 모든 일상 작업에 실패 하는 것은 수학자가 만드는 복잡한 예제 조차 없습니다.  
 
그러나 보통, 왜냐하면 f(x, y)가 어디서나 정의 하는 게 실패하기 때문에 , 그 나쁜 점을 기억하세요. 감사합니다. 
 
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강의 댓글 [ 3 ]

댓글 폼
       
( 0 / 800byte )
미분과 관련해서 특히 미분 방정식 부분에 있어서 두려움을 가지고 있었습니다. 비록 직접적으로 전공에서 수학을 사용하지는 않지만 미분이 필요할 때가 많았기 때문에 그 때마다 미분에 대한 두려움이 더욱 커졌던 것 같습니다. 하지만 이 강의 영상을 통해서 많은 도움을 받을 수 있을 것같습니다. 좋은 강의 감사합니다.
[2013/01/09 18:05.19]
예전강의라 화질이 조금 좋지 않습니다만, 훌륭한 강의입니다. 미분 방정식에 대해 기하학적으로 설명해주는 여러 강의를 들어봤지만 이해도 잘되고 모든 내용을 함축적으로 가르쳐주시려 하십니다. 미분방정식이 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지, 그 미분 함수를 적분하는 것은 또 어떤 의미를 갖는 지 알 수 있습니다. 첫 수업을 잘 들으면 앞으로 전개되는 미분 방정식을 이해하는 데에 큰 도움이 될 것 같습니다.
[2012/01/22 13:26.03]
학습후기 미분은 말만 들어도 다소 거부감이 있어 오히려 이 강의르 보게 되었습니다. 때때로 영어로 배우는 수학, 과학이 쉽게 느껴질 때가 있는데 이 강의도 생각보다 흥미롭게 진행될 것 같은 생각이 듭니다.
[2010/12/12 21:23.06]
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